第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合，则 （A） （B） （C） （D） （2）在等比数列中，，公比.若，则m （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 （4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A） （B） （C） （D） （5）极坐标方程表示的图形是 （A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 （6）为非零向量.“”是“函数为一次函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数的图像上存在区域D上的点，则的取值范围是 （A）1,3] B [2,3] C 1,2] D [ 3, ] 8如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF1，E，DQ，DＰ＝（大于零），则四面体的体积 （Ａ）与都有关 （Ｂ）与有关，与、无关 （Ｃ）与有关，与，无关 （Ｄ）与有关，与，无关 第II卷（共110分） 二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。
（10）在△ABC中，若b 1，c ，，则a 。
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140 , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；
CE＝ 。
（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；
渐近线方程为 。
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为 ；
在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 。
说明“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
三、解答题本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 已知函数 （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
（16）（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB，CEEF1. （Ⅰ）求证AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
17本小题共13分 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，＞，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 Ⅰ求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
Ⅱ求，的值；
Ⅲ求数学期望ξ。
18本小题共13分 已知函数 Ⅰ当2时，求曲线在点1，1处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间。
（19）（本小题共14分） 在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. Ⅰ求动点P的轨迹方程；
Ⅱ设直线AP和BP分别与直线3交于点M,N，问是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等若存在，求出点P的坐标；
若不存在，说明理由。
（20）（本小题共13分） 已知集合 对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）证明，且; （Ⅱ）证明三个数中至少有一个是偶数 Ⅲ 设P，P中有mm≥2个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为. 证明 2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 因为 所以，当时取最大值6；
当时，取最小值 （16）（共14分） 证明（Ⅰ）设AC与BD交于点G. 因为EF∥AG,且EF1，AGAC1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF∥EG 因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF∥平面BDE （Ⅱ）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且 所以 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系 则 所以 所以 所以 所以 （17）（共13分） 解事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，由题意知 （Ⅰ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 （Ⅱ）由题意知 整理得 18共13分 解（Ⅰ）当时， 由于 所以曲线在点处的切线方程为 即 （Ⅱ） 当时， 所以，在区间上，；
在区间上， 故的单调递增区间是，单调递减区间是 当时，由，得 所以，在区间和上，，在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是 当时， 故的单调递增区间是 当时，由 ，得 所以，在区间和上，；
在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是 （19）（共14分） （Ⅱ）解法一设点P的坐标为，点的坐标分别为 则直线的方程式为，直线的方程式为 令得 于是的面积 又直线AB的方程为 点P到直线AB的距离 于是的面积 当时，得 又 所以，解得 因为，所以 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 解法二若存在点使得与的面积相等，设点P的坐标为 则 因为 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 （20）（共13分） 证明（Ⅰ）设 因为 从而 又 由题意知 当时， 当时， 所以 所以中1的个数为，中1的个数为 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数 即三个数中至少有一个是偶数 （Ⅲ）表示中所有两个元素间距离的综合 设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 则 由于 所以 从而