有理数全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类 （1）按定义分类 （2）按性质分类 要点诠释（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值 （1代数意义一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2几何意义一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则 （1）加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-ba-b ． （3）乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即abab≠0 ． （5）乘方运算的符号法则①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 6有理数的混合运算顺序①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释“奇负偶正”口诀的应用 （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如－[－（－3）]－3， －[（－3）]3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如（－3）（－2）（－6）－36，而（－3）（－2）636． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；
指数为偶数，则幂为正，例如 ， ． 2．运算律 （1）交换律 ① 加法交换律abba；
②乘法交换律abba；
（2）结合律 ①加法结合律 abcabc；
②乘法结合律（ab）cabc （3）分配律abcabac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有（1）数轴比较法；
（2）法则比较法正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小；
3 作差比较法．（4）作商比较法；
（5倒数比较法． 要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如200 000． 2.近似数接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释 （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】 类型一、有理数相关概念 1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|xy |（a-1）2＝0，求a2-xymnaxy2009-mn2010的值． 【思路点拨】1若有理数x与y互为相反数，则xy＝0，反过来也成立． 2若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立． 【答案与解析】 解因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0， 所以xy＝0，mn＝1，a＝1， 所以a2-xymnaxy2009-mn2010 ＝a2-01a02009-12010 ＝a2-a1． ∵a＝1，∴原式＝12-11＝1 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三 【高清课堂有理数的复习与提高 357129 复习例题2】 【变式1】选择题 （1）已知四种说法 ①|a|a时，a0；
|a|-a时， a0，则（ ） A．ab0 C．a0且b0 D．a0且b0 （4）若|x-1||y3||z-5|0，则x1y-3z5的值是（ ） A．120 B．-15 C．0 D．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ） A．-a6与-a6 B．-a3与|-a|3 C．[-a2]3与-a32 D．ab3与ab3 【答案】（1）C；
（2）C；
（3）A；
（4）D；
5C 【变式2】（2015呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6106． 2.（2016江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|mn﹣2016|________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出mn0，从而求出|mn﹣2016|. 【答案】2016. 【解析】解∵m，n互为相反数， ∴mn0， ∴|mn﹣2016||﹣2016|2016；
故答案为2016． 【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键． 类型二、有理数的运算 【高清课堂有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】 3．1 2 4 5 【答案与解析】 解（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5） 【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如正、负数分别相加；
分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；
除法转化为乘法、正向应用乘法分配律abc＝abac；
逆向应用分配律abac＝abc等. 举一反三 【变式】 （1） （2） 【答案】 解（1） （2） 4. 先观察下列各式；
；
；
；
，根据以上观察，计算 的值． 【答案与解析】 解原式 【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算． 举一反三 【高清课堂有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算 【答案】 解原式 类型三、数学思想在本章中的应用 5．（2014香洲区校级二模）（1）阅读下面材料 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|． 当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB||OB||b||a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时， ①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB||OB|﹣|OA||b|﹣|a|b﹣a|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB||OB|﹣|OA||b|﹣|a|﹣b﹣（﹣a）|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB||OA||OB||a||b|a（﹣b）|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB||a﹣b|． （2）回答下列问题 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|2，那么x为 ；
③当代数式|x1||x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ． ④解方程|x1||x﹣2|5． 【答案与解析】 解①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|4． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）||x1|，如果|AB|2，那么x为1或﹣3． ③当代数式|x1|十|x﹣2|取最小值时， ∴x1≥0，x﹣2≤0， ∴﹣1≤x≤2． ④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x25，解得x﹣2；
当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；
当x＞2时，x1x﹣25，解得x3． 故答案为3，3，4，|x1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2． 【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点． 类型四、规律探索 6.下面两个多位数1248624，6248624都是按照如下方法得到的将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；
若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是 ． A．495 B．497 C．501 D．503 【思路点拨】多位数1248624是怎么来的当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上