广深珠三校2020届高三数学上学期第一次联考试题 理 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷选择题 共60分 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．已知集合A＝{x｜}，B＝{}，则A∩B＝. A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜0≤x＜2} C. {x｜2＜x＜3} D. {x｜2＜x≤3} 2．若复数的共轭复数满足,则. A.B.C. D. 3．下列有关命题的说法错误的是. A. 若“”为假命题，则、均为假命题；
B. 若是两个不同平面，,，则 ；
C. “”的必要不充分条件是“”；
D. 若命题p，则命题；
4．已知某离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则X的数学期望. A． B．1C． D．2 5．已知向量、均为非零向量，则、的夹角为. A．B．C．D． 6．若，则的值为. A. B. C. D. 7．若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 6 8．设抛物线Cy24x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则. A．5B．6C．7D．8 9．已知定义在R上的偶函数对任意 都有，当取最小值时，的值为. A.1B.C.D. 10．在如图直二面角ABDC中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是. A．BC与平面A1BE内某直线平行 B．CD∥平面A1BE C．BC与平面A1BE内某直线垂直 D．BC⊥A1B 11．定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列 的前项的“均倒数”为，又，则. A. B. C. D. 12．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是. A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分 13．设满足约束条件，则的最大值为 ；
14．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为 ；
15．已知点P在双曲线上，轴其中为双曲线的右焦点，点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为 ；
16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，， ∠BAC120。，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ；
三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 如图，在中，角所对的边分别为，；
（1）证明为等腰三角形；
（2）若为边上的点，，且∠ADB 2∠ACD，，求的值． 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；
点分别为的中点． （1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. （本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，且经过点 （1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称若存在，求出点的坐标；
若不存在，说明理由． 20．（本小题满分12分） 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合． 21. （本小题满分12分） 某景区的各景点从2020年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2020年至2020年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型 模型①由最小二乘法公式求得与的线性回归方程 y50.8x169.7；
模型②由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程 yaebx． （精确到个位，精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位万人，精确到个位）． 回归方程 ① ② i110yi-yi2 30407 14607 参考公式、参考数据及说明 ①对于一组数据，其回归直线waβv的斜率和截距的最小二乘法估计分别为βi1nwi-wvi-vi1nvi-v2, aw-βv． ②刻画回归效果的相关指数R21-i1nyi-yi2i1nyi-y2 ③参考数据，． 5．5 449 6．05 83 4195 9．00 表中． 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4坐标系与参数方程]10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，若，求的值. 23．[选修4-5不等式选讲]10分） 已知函数 （1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值． 广深珠三校2020届高三第一次联考 理科数学参考答案 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B B A D D A D C D 12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】 由得， 当时，方程不成立，即， 则， 设（且）， 则， ∵且，∴由得， 当时，，函数为增函数， 当且时，，函数为减函数， 则当时函数取得极小值，极小值为， 当时，，且单调递减，作出函数的图象如图 故要使有两个不同的根，则即可， 即实数的取值范围是. 二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分 13． 19 ；
14． 15 ；
15．；
16．；
三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 如图，在中，角所对的边分别为，；
（1）证明为等腰三角形；
（2）若为边上的点，，且，，求的值． 【详解】（1），由正弦定理得 ..2分 由余弦定理得；
..4分 化简得, 所以即， ..5分 故为等腰三角形． ..6分 （2）如图， 由已知得，， ， ， ..8分 又， ， ..10分 即， 得，由（1）可知，得． ..12分 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；
点分别为的中点． （1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）设的中点为，连接， 为的中点，所以为的中位线， 则可得，且；
..2分 在梯形中，，且， ， 所以四边形是平行四边形， ..4分 ，又平面，平面， 平面． ..6分 法二设为的中点，连接， 为的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 平面， ..2分 又在梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， ..4分 又， 所以平面平面， 又平面， 平面． ..6分 （2）设的中点为，又． 因平面平面，交线为，平面， 平面， 又由，， ． 即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系． ..7分 已知点， ..8分 设平面的法向量为． 则有，可得平面的一个法向量为， ， ..10分 可得， ..11分 所以直线与平面所成角的正弦值为． ..12分 19. （本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，且经过点 （1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称若存在，求出点的坐标；
若不存在，说明理由． 【详解】（Ⅰ）由题意可得，，又a2﹣b2＝c2， ..2分 解得a2＝4，b2＝1，． 所以，椭圆的方程为． ..4分 （Ⅱ）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称， 设直线l的方程为xmy﹣＝0，与椭圆联立可得． 设