专题三 2020新型试题题型突破 题型一 定义新概念 【例1】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、， 、（除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；
数集也是数域.有下列命题 ①整数集是数域；
②若有理数集，则数集必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上） 【特别提醒】本题定义了新的概念数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能. 题型二 定义新图表 根据以上排列规律，数阵中第（）行的从左向右的第3个数是 【特别提醒】由数阵找到（）行的最后一个数.数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜. 题型三 定义新数列 【例3】若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲数列是等方比数列；
乙数列是等比数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】由等比数列的定义数列，若乙是等比数列，公比为，即则甲命题成立；
反之，若甲数列是等方比数列，即即公比不一定为， 则命题乙不成立，故选B. 题型四 构建指数函数模式的问题 【例4】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用表示某一时刻每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式 （），其中是湖水污染的初始质量分数. （Ⅰ）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（Ⅱ）求证当时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（Ⅲ）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5 故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重. Ⅲ污染停止即，，设经过天能使湖水污染下降到初始污染水平5，即 ∴，∴， 故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5. 题型五 构建二次函数模式的问题 【例5】一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（ ） A．人可在7米内追上汽车 B．人可在10米内追上汽车 C．人追不上汽车,其间距离最近为5米 D．人追不上汽车,其间距离最近为7米 【例6】某工厂拟建一座平面图（如图9-3所示）为矩形且面积为的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）. Ⅰ写出总造价（元）与污水处理池长 的函数关系式；
Ⅱ若由于地形限制，长、宽都不能超过，求的定义域；
图9-2-1 Ⅲ在条件Ⅱ下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低并求出最低总造价. 【解析】Ⅰ因污水处理水池的长为，则宽为， 总造价为 Ⅱ由题设条件，解得，即函数定义域为 Ⅲ先研究函数在上的单调性， 故函数在上是减函数，∴当时，取得最小值， 此时 综上，当污水处理池的长为，宽为时，总造价最低，最低为45000元 【特别提醒】 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数，是形如的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习. 我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值；
当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值. 若a，b异号 （1）a＞0，b＜0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-∞，0）和（0，∞）, （2）a＜0，b＞0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-∞，0）和（0，∞）. 通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性. 本题考查的是学生对于对勾函数单调性的理解，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在上取得极小值，这一函数性质在不等式和导数中均有重要应用.学生可思考若不限制函数的定义域，此题的最优造价方案又将如何. 题型七 知识类比问题 【例7】设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列.类比以上结论有设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列. 【特别提醒】根据类比猜想得出，，成等比数列.本题考查由等差数列到等比数列的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习. 题型八 结论探索型问题 例8 如图9－3－1，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中． Ⅰ当A1CB1D1时，试确定底面四边形ABCD的形状；
Ⅱ如果底面ABCD是正方形，E是C1D1的中点，是否存在实数，当时，DECA1．若存在，求出实数的范围；
若不存在，说明理由． 【解析】Ⅰ根据条件与结论分析，如果A1CB1D1，则BD一定垂直平面AA1C，只要满足条件ACBD，就能推出结论，因此对四边形ABCD的形状可以是正方形、菱形、筝形． 因此，而，， 可得，故不存在实数使得DECA1 【专题训练】 1．若，，且A＝B，. （Ⅰ）求零点个数；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）若时，，求m的值. 1．解（Ⅰ）∵A＝B， ∴，∴，∴ 2．某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率与日产量 （）件间的关系为 每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次 品亏损1100元． （Ⅰ）将日利润（元）表示为日产量件的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时,日利润最大 （） 2．解 （Ⅰ） （Ⅱ）当时,. 当时, 取得最大值33000元. 当时，. 令，得. 当时，；
当时，. 在区间上单调递增,在区间上单调递减. 故当时,取得最大值是 元. , 当时,取得最大值元. 答 该厂的日产量为25件时, 日利润最大. 3．图5 图6 （Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图5,图6）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图5、图6中,并作简要说明；
（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
3．解（Ⅰ）如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥． 如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角．余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底． （Ⅱ）依上面剪拼的方法,有V柱＞V锥． 图1 图2 推理如下设给出正三角形纸片的边长为2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形,其面积为．现在计算它们的高 ,． ∴ , 所以,V柱＞V锥． 4．已知为函数的一个极值点． （1）求及函数的单调区间；
（2）若对于任意恒成立，求取值范围． 5．如图7,标系中，已知椭圆的离心率e＝，左 右两个焦分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|2． Ⅰ 求椭圆的方程；
Ⅱ 设椭圆的一个顶点为，是否存在直线，使点B关于直线的对称点落在椭圆上，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 图7 ，则由轴对称的性质可得，解得 ∵点在椭圆上，∴ ， 整理得解得或 ∴直线的方程为或 经检验和都符合题设 ∴满足条件的直线存在，其方程为或． 6．在数列中，前n项和． （Ⅰ）求证｛an｝是等差数列；
（Ⅱ）求证点都落在同一条直线上；
（Ⅲ）若，且P1、P2、P3三点都在以为圆心，为半径的圆外，求的取值范围．