高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修2

2 3 2 平面与平面垂直 的判定 一二三 一 二面角 如图 观察教室内门与墙面 当门绕 着门轴 旋转时 门所在的平 面与墙面所形成的角的大小和形状 1 如图 观察教室内门与墙面 当门绕 着门轴 旋转时 门所在的 平面与墙面所形成的角的大小和形状 1 数学上 用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角 提示 二面角 2 平时 我们常说 把门开大一点 在这里指的是哪个角大一点 提示 二面角的平面角 一二三 2 二面角 一二三 一二三 3 做一做 在正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角D1 AB D的大小是 答案 45 一二三 二 平面与平面垂直 1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别指出 是哪些二面角 这些二面角各是多少度 提示 可以构成3个二面角 分别是两相邻墙面构成的二面角 1个 墙面与地面构成的二面角 另1个墙面与地面构成的二面角 这3个 二面角都为90 2 如何定义两个平面互相垂直 提示 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这 两个平面互相垂直 一二三 3 如何画两个相互垂直的平面 平面 与平面 垂直 记作什么 提示 两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子 此时 把 直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直 平面 与平面 垂直 记作 一二三 三 平面与平面垂直的判定定理 1 建筑工人常在一根细线 上拴一个重物 做成 铅锤 用这种方 法来检查墙 与地面是否垂直 当挂铅锤 的线从上面某一点垂下时 如果墙壁贴近铅锤线 则说 明墙和地面什么关系 此时铅锤线 与 地面什么关系 提示 均垂直 一二三 2 填空 平面与平面垂直的判定定理 一二三 3 做一做 在三棱锥P ABC中 已知PA PB PB PC PC PA 如 图 则在三棱锥P ABC的四个面中 互相垂直的面有 对 解析 平面PAB 平面PAC 平面PAB 平面PBC 平面PAC 平面 PBC 答案 3 探究一探究二探究三思想方法 证证明两个平面垂直 例1如图所示 ABC为正三角形 EC 平面ABC BD CE 且 CE CA 2BD M是EA的中点 求证 1 DE DA 2 平面BDM 平面ECA 3 平面DEA 平面ECA 思路分析 1 要证DE DA 只需证明Rt EFD Rt DBA 2 注意M 为EA的中点 可取CA的中点N 先证明N点在平面BDM内 再证明平 面BDM过平面ECA的一条垂线即可 3 仍需证平面DEA经过平面 ECA的一条垂线 探究一探究二探究三思想方法 证明 1 取EC的中点F 连接DF EC BC 易知DF BC DF EC 在Rt EFD和Rt DBA中 Rt EFD Rt DBA ED DA MN BD N点在平面BDMN内 EC 平面ABC EC BN 又CA BN BN 平面ECA BN在平面MNBD内 平面MNBD 平面ECA 即平面BDM 平面ECA 探究一探究二探究三思想方法 四边形MNBD为平行四边形 DM BN 由 2 知BN 平面ECA DM 平面ECA 又DM 平面DEA 平面DEA 平面ECA 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟证明平面与平面垂直的常用方法 1 利用定义 证明二面角的平面角为直角 其判定的方法是 找出两相交平面的平面角 证明这个平面角是直角 根据定义 这两个相交平面互相垂直 2 利用面面垂直的判定定理 要证面面垂直 只要证线面垂直 即 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直 这是证明面面 垂直的常用方法 其基本步骤是 探究一探究二探究三思想方法 变式训练 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面 ABCD是直角梯形 AB AD CD AD 求证 平面PDC 平面PAD 证明 PA 平面ABCD CD 平面ABCD PA CD 又 CD AD PA AD A CD 平面PAD 又 CD 平面PDC 平面PDC 平面PAD 探究一探究二探究三思想方法 求二面角的大小 例2如图 已知四边形ABCD是正方形 PA 平面ABCD 1 二面角B PA D的大小为 2 二面角B PA C的大小为 思路分析 先依据二面角的定义找相应二面角的平面角 然后借 助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值 最后指 出二面角的大小 探究一探究二探究三思想方法 解析 1 PA 平面ABCD AB PA AD PA BAD为二面角B PA D的平面角 又由题意 BAD 90 二面角B PA D的大小为90 2 PA 平面ABCD AB PA AC PA BAC为二面角B PA C的平面角 又四边形ABCD为正方形 BAC 45 即二面角B PA C的大小为45 答案 1 90 2 45 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟二面角的平面角的常见做法 1 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点 在两个半平面内分别 作垂直于棱的射线 如图 则 AOB为二面角 l 的平面角 2 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个 半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图 AOB为二面角 l 的平面角 3 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作 垂线 垂足为B 由点B向二面角的棱作垂线 垂足为O 连接AO 则 AOB为二面角的平面角或其补角 如图 AOB为二面角 l 的 平面角 探究一探究二探究三思想方法 延伸探究在题设 条件不变的情况下 若PA AD 求平面PAB与平 面PCD所成的二面角的大小 解 CD 平面PAB 过P作CD的平行线l 如图 由PA CD CD AD PA AD A 知CD 平面PAD 从而CD PD 又CD l l PD DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角 为45 平面PAB与平面PCD所成的二面角为45 探究一探究二探究三思想方法 垂直关系的综综合应应用 例3如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为 a的正方形 侧棱 PD a PA PC a 1 求证 PD 平面ABCD 2 求证 平面PAC 平面PBD 3 求二面角P BC D的大小 思路分析 1 转化为证明PD DC与PD AD 2 转化为证明 AC 平面PBD 3 先证出 PCD为二面角P BC D的平面角 探究一探究二探究三思想方法 1 证明 PD a DC a PC a PC2 PD2 DC2 PD DC 同理可证PD AD 又AD DC D PD 平面ABCD 2 证明 由 1 知PD 平面ABCD PD AC 而四边形ABCD是正方形 AC BD 又BD PD D AC 平面PBD 同时AC 平面PAC 平面PAC 平面PBD 3 解 由 1 知PD BC 又BC DC PD DC D BC 平面PDC BC PC PCD为二面角P BC D的平面角 在Rt PDC中 PD DC a PCD 45 即二面角P BC D的大小是45 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟垂直关系间的相互转化 探究一探究二探究三思想方法 数形结合思想 翻折问题中的垂直问题 典例如图1 在矩形ABCD中 已知AD 2AB E是AD的中点 沿BE将 ABE折到 A1BE的位置 如图2 使A1C A1D 求证 平面A1BE 平 面BCDE 思路分析 ABE是等腰直角三角形 翻折前后未变 要充分利用这 一特点 取BE的中点F 使A1F 平面BCDE即可 探究一探究二探究三思想方法 证明如图 取图2中BE CD的中点F G 连接A1F FG A1G A1C A1D A1G CD AD 2AB E是AD的中点 A1B A1E F为BE的中点 A1F BE 四边形ABCD是矩形 ED BC BCD 90 F G为BE CD的中点 FG CD FG A1G G CD 平面A1GF CD A1F ED BC BC 2ED 四边形BCDE为直角梯形 CD与BE必相交 A1F 平面BCDE A1F 平面A1BE 平面A1BE 平面BCDE 探究一探究二探究三思想方法 方法总结 处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后 的立体图形进行对比 看哪些位置关系和相关量发生了变化 如果 发生了变化 那么发生了怎样的变化 哪些没有发生变化 切不可混 淆不清 特别是翻折前的线线垂直 线面垂直 面面垂直 在翻折 后是否发生了变化 是否还保持垂直 这是解决翻折问题的关键 解 决本题的关键是明确翻折前后的数量关系和位置关系的变化状况 其中等腰三角形中 三线合一 性质有非常重要的作用 探究一探究二探究三思想方法 变式训练 如图 在梯形ABCD中 AB CD E F是线段AB上的两点 且DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 4 DE 4 现将 ADE CFB分别沿DE CF折起 使A B两点重合于点G 得到多面体 CDEFG 求证 平面DEG 平面CFG 证明因为DE EF CF EF 所以四边形CDEF为矩形 由GD 5 DE 4 得GE 3 由GC 4 CF 4 得FG 4 所以EF 5 在 EFG中 有EF2 GE2 FG2 所以EG GF 又因为CF EF CF FG 得CF 平面EFG 所以CF EG 所以EG 平面CFG 即平面DEG 平面CFG 1234 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 解析 m n n m 又m 答案 C 1234 2 如图 设P是正方形ABCD外一点 且PA 平面ABCD 则平面PAB 与平面PBC 平面PAD的位置关系是 A 平面PAB分别与平面PBC 平面PAD垂直 B 它们两两垂直 C 平面PAB与平面PBC垂直 与平面PAD不垂直 D 平面PAB与平面PBC 平面PAD都不垂直 1234 解析 PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC 平面PBC 平面PBC 平面PAB 由AD PA AD AB PA AB A 得AD 平面PAB AD 平面PAD 平面PAD 平面PAB 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直 故选A 答案 A 1234 3 经过 平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面的个数为 解析 设平面 外的点为A 平面 内的点为B 过点A作面 的垂线l 若 点B恰为垂足 则所有过AB的平面均与 垂直 此时有无数个平面与 垂直 若点B不是垂足 则l与点B确定唯一平面 满足 答案 1个或无数个 1234 4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 截面A1BD与底面ABCD所成二面角 A1 BD A的正切值为 解析 如图所示 连接AC交BD于点O 连接A1O O为BD中点 A1D A1B 在 A1BD中 A1O BD 又在正方形ABCD中 AC BD A1OA为二面角A1 BD A的平面角 答案 C