一、忽视单调性 例1 已知函数f（x）x2-x-1，x∈[-1，]，求f（x）的最大值和最小值。
错解∵f（-1）1-1，f（）3-2-10， ∴f（x）的最大值和最小值分别为和0。
剖析以上解法忽视了函数的单调性，由题设知函数f（x）在[-1，]上单调递减，在[，]上单调递增，因而当x时，f（x）取得最小值。
解∵f（x）（x-）2-，x∈[-1，]， ∴当x时，f（x）的最小值为-，当x-1时，f（x）的最大值为。
二、不理解单调性定义 例2 判断函数f（x）的单调性。
错解f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，∞），设x1＜x2＜-1，则f（x2）-f（x1）-。
∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0 x11＜0 x21＜0 ∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1） ∴f（x）在-∞,-1上为减函数，同理可得f（x）在（-1，∞）上也是减函数，故f（x）在（-∞，-1）∪（-1，∞）为减函数。
剖析对函数单调性理解不够导致错误，对于单调性只能是在某个指定区间上来说的，不能用并集表示单调区间。
正解f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，∞），设x1＜x2＜-1，则f（x2）-f（x1）- ∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x11＜0，x21＜0 ∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1） ∴f（x）在-∞，-1）为减函数。
同理可得f（x）在（-1，∞）上也是减函数。
∴f（x）在（-∞，-1）和（-1，∞）上都是减函数。
三、错用函数的单调性 例3 利用定义判断函数f（x）x在区间（-∞，∞）上的单调性。
错解设x1，x2∈（-∞，∞）且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）（x1）-（x2）（x1-x2）（-） ∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，-＜0 ∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。
故函数f（x）在区间（-∞，∞）上是单调增函数。
剖析该解法失误在于错用了g（x）的单调性，而实际上在R上g（x）不具备单调性。例如g（-1）g（1）或由数形结合可知。
正解设x1，x2∈（-∞，∞）且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）（x1-x2）（-） （x1-x2）（x1-x2） ∵x1＜x2，∴x1-x2＜0， 又∵＞0，x1＞|x1|x1≥0，x2＞|x2|x2≥0 ∴x1x2＞0， 所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 故函数f（x）在区间（-∞，∞）上是单调增函数。
点评利用定义法判断函数单调性时，一般要将f（x1）-f（x2）化成几个因式的乘积的形式。
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