命题qb0,b0的一个焦点与抛物线y28x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，且ΔOAB的面积为6（O为原点），则双曲线的方程为（ ） A．x23-y2121B．x236-y2321C．x23-y21D．x2-y231 第II卷 二、填空题本题共4小题，每小题5分. 13．已知函数fxx32x2，则曲线yfx在点-1,f-1处的切线方程为________． 14．某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说“你们的成绩都没有我高.”乙说“我的成绩一定比丙高. ”丙说“你们的成绩都比我高. ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名. 15．设F是双曲线Cx2a2-y2b21的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为________. 16．已知函数f x及其导数f ′x，若存在x0，使得f x0＝f ′x0，则称x0是f x的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________． ①fx＝x2；
②fx＝e－x；
③fx＝lnx；
④fx＝tanx；
⑤. 三、解答题本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分） （1）设a≥b0，用综合法证明a3b3≥a2bab2；
（2）用分析法证明67225. 18．（本小题12分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在AD上，且，将△AED,△DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2. 1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明；
2求二面角M-EF-D的余弦值. 19．（本小题12分）已知函数fxx2x-1． （1）求函数fx的单调区间；
（2）求fx在区间-1,2上的最大值和最小值． 20．（本小题12分）已知抛物线Cy22pxp0过点M4,-42. 1求抛物线C的方程；
2设F为抛物线C的焦点，直线ly2x-8与抛物线C交于A，B两点，求△FAB的面积． 21．（本小题12分）已知椭圆C过点A26,2 ，两个焦点-26,0,26,0． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值． 22．（本小题12分）已知函数fxx3ax. （1）讨论fx的单调性；
（2）若函数gxfx-xlnx在 12 ,2上有零点，求a的取值范围。
赣州市五校协作体2020学年第二学期期中联考 高二数学理科试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D C A A A B D B C D 13．xy0 14．2 15．5 16．①③⑤ 17．（1）∵ a3b3-a2bab2a2a-bb2b-a a-ba2-b2a-b2ab 3分 而a-b2≥0 ，ab0 ∴ a3b3-a2bab2≥0 ∴ a3b3≥a2bab2 5分 （2）要证67225，只需证6722252，6分 即证42210， 7分 只需证4222102， 8分 即4240， 9分 而4240显然成立，故原不等式得证. 10分 18．1 PB与平面MEF的位置关系是PB//平面MEF. 1分 证明在图1中，连结BD交EF于N，交AC于O，则BN12BO14BD. 2分 在图2中，连结BD交EF于N，连结MN. 3分 在△DPB中，有BN14BD,PM14PD,所以MN//PB. 又因为PB⊄面MEF，MN⊆面MEF，5分 故PB//平面MEF. 6分 2解法一在图2中，连结BD交EF于N，连结MN. 7分 图2中的△PDE,△PDF，即图1中的Rt△ADE,Rt△CDF,所以PD⊥PE,PD⊥PF. 又PE∩PFP,所以PD⊥面PEF,∴PD⊥EF. 又EF⊥BD，所以EF⊥面PBD.则∠MND为二面角M-EF-D的平面角. 10分 易知PN⊥PM，则在Rt△PMN中，PM1,PN2，则MNPM2PN23. 在△MND中，MD3,DN32,由余弦定理，得 cos∠MNDMN2DN2-MD22MNDN63. 所以二面角M-EF-D得余弦值为63. 12分 解法二以P为原点，分别以PE,PF,PD的方向为x轴，y轴， z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系P-xyz, 7分 则E2,0,0,F0,2,0,D0,0,4,M0,0,1，8分 于是EM-2,0,1,FM0,-2,1, ED-2,0,4,FD0,-2,4. 9分 分别设平面MEF，平面DEF法向量为n1x1,y1,z1,n2x2,y2,z2， 由n1EM0,n1FM0,得-2x1z10-2y1z10于是取n11,1,2，10分 又由n2ED0,n2FD0,得-2x24z20-2y24z20于是可取n22,2,1. 11分 因为cosn1,n2n1n2n1n2|66963, 所以二面角M-EF-D的余弦值为63. 12分 19．（1）∵fxx2x-1x3-x2， ∴fx3x2-2x．1分 由fx3x2-2x0，解得x23；
3分 由fx3x2-2x0，解得0x0过点M4,-42， 所以-4228p32，解得p4，3分 所以抛物线C的方程为y28x．4分 （2）由抛物线的方程可知F2,0，5分 直线ly2x-8与x轴交于点P4,0，6分 联立直线与抛物线方程y2x-8y28x，8分 消去x可得y2-4y-320，9分 所以y18,y2-4，10分 所以SΔFAB12PFy1-y21221212， 所以ΔFAB的面积为12．12分 21．解（1）由题意，设椭圆方程为x2a2y2b21（a＞b＞0）， 且c26，1分 2a262622226-2622212，2分 则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．3分 ∴椭圆C的标准方程为x236y2121；
4分 （2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m， 得|AB|23336-m2， 由|AB|23336-m26，解得m＝3，5分 此时S△AOB12639；
6分 当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kxm， 联立ykxmx236y2121，得（3k21）x26kmx3m2﹣36＝0．7分 △＝36k2m2﹣4（3k21）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2144．8分 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1x2-6km3k21，x1x23m2-363k21． 由|AB|1k2⋅-6km3k212-12m2-1443k216，10分 整理得m233k21k23k21，原点O到AB的距离d|m|k21．11分 ∴S△AOB12⋅6⋅|m|k213m2k2133⋅3k2124k21-4k212 33⋅-4⋅1