2020年福建省普通高中毕业班质量检查 数学 文科 试题 本试卷分第I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式 如果事件A、B互斥，那么PABPAPB． 如果事件A、B相互独立，那么PABPAPB． 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pnk． 球的表面积公式 S4πR2，其中R表示球的半径． 球的体积公式 VπR3，其中R表示球的半径． 第I卷选择题 共60分 一、选择题本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内． 1．已知集合A{x|-2，-1，0,1，2}，B{2，3}，则A∪B为 A．{2} B．{2，3} C．{-2，-1，0,1，2} D．{-2，-1，0,1，2，3} 2．不等式的解集是 A．-3,2 B．2，∞ C．-∞，-3∪2，∞ D． -∞，-2∪3, ∞ 3．双曲线4x2-y21的渐近线方程是 A．4xy0 B．x4y0 C．x2y0 D．2xy0 4．已知函数则f f-2的值为 A．-1 B． C．2 D．4 5．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB3，∠AOB120，则球的体积为 A． B． C．36π D． 6．已知二次函数yx2-2ax1在区间2，3内是单调函数，则实数a的取值范围是 A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C． a≤-3或a≥-2 D．-3≤a≤-2 7．已知条件p k，条件q直线ykx2与圆x2y21相切，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知数列的前n项和为Sn，且Sn是an与1的等差中项，则an等于 A．1 B．-1 C．-1n D．-1n-1 9．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是 A．若m∥α，mβ，α∩βn，则m∥n B．若m∥α，nα，则m∥n C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β m，m⊥n，则n⊥α 10．函数yAsinωxφ图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成 A．y sinx B．y sin2x C．y sin2x D．y sin2x- 11．某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为 A． B． C． D． 12．若函数fx为奇函数，且在0，∞内是增函数，又f20，则＜0的解集为 A．-2,0∪0,2 B．-∞，-2∪0,2 C．-∞，-2∪2，∞ D．-2,0∪2，∞ 第Ⅱ卷非选择题 共90分 二、填空题本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上． 13．二项式6的展开式中，常数项为_____________. 14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____． 15．已知向量a1，1，bsinx ，-cosx，x∈0，π，若a∥b ，则x的值是_______． 16．阅读下面材料，并回答问题 设D和D1是两个平面区域，且D1 D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率PA. 已知区域E{x，y|0≤x≤3，0≤y≤2}，F{x，y|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________． 三、解答题本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤． 17．本小题满分12分 已知函数fxcos2xsinxcosxx∈R I求f的值；
Ⅱ求fx的单调递增区间． 18．本小题满分12分 在数列中，a11，an1anc c为常数，n∈N*，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列． Ⅰ 求c的值；
Ⅱ 设bn，求数列的前n项和Sn ． 19．本小题满分12分 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点． I求证EF∥平面ACD，；
Ⅱ求异面直线EF与AB所成的角；
Ⅲ 设点P在棱BB1上，且BP求二面角P-AC-B的大小． 20．本小题满分12分 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ美元与其重量ω 克拉的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． I写出υ关于ω的函数关系式；
Ⅱ若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
Ⅲ把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明当mn时，价值损失的百分率最大． 注价值损失的百分率100％；
在切割过程中的重量损耗忽略不计 21．本小题满分12分 已知函数fxax3bx2-xx∈R，a、b是常数，a≠0，且当x1和x2时，函数fx取得极值． I求函数fx的解析式；
Ⅱ若曲线yfx与gx -3x -m-2≤x≤0有两个不同的交点，求实数m的取值范围. 22．本小题满分14分 已知定点Aa，O a 0，直线l1 y-a交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C． I求动点C的轨迹E的方程；
Ⅱ设倾斜角为α的直线l2过点A，交轨迹E于两点 P、Q，交直线l1于点R． 1若tanα1，且ΔPQB的面积为，求a的值；
2若α∈[，]，求|PR||QR|的最小值． 2020年福建省普通高中毕业班质量检查 数学文科试题参考答案及评分标准 说明 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．A 二、填空题本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13．15；
14．；
15．；
16． 三、解答题本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；
考查理解能力和运算能力．满分12分. 解4分 6分 8分 10分 即时，fx单调递增. ∴fx单调递增区间为[，]12分 18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；
考查化归与转化的思想方法考查推理与运算能力．满分12分． 解Ⅰ∵an1anc,a11,c为常数, ∴an1n-1c.2分 ∴a21c,a514c. 又a1,a2,a5成等比数列, ∴1c214c,解得c0或c24分 当c0,an1an不合题意,舍去. ∴c2.6分 Ⅱ由Ⅰ知,an2n-1, ∴，10分 ∴Snb1b2bn .12分 19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；
考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分． 解法一如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 D-xyz，由已知得D0,0,0、A2,0,0、B2,2, 0、C0,2,0、Bl2,2,2、Dl0,0,2、E1,0,2、F0,2,1． 2分 Ⅰ易知平面ACD1的一个法向量是2,2,2．4分 又∵-1,2,-1， 由 -24-20， ∴⊥，而EF平面ACD1， ∴EF∥平面ACD16分 Ⅱ ∵0,2，0， cos ∴异面直线EF与AB所成的角为arccos8分. Ⅲ∵BP，∴P2，2，. 设x，y，z是平面PAC的一个法向量，则 ∵0，2，, -2，2，0， ∴取. 易知是平面ACB的一个法向量， ∴cos10分 ∴二面角P-AC-B的大小为30. 12分 解法二Ⅰ同解法一知Ⅰ同解法一知-1,2，-1 ，-2,0，2， -2,2，0，∴-， ∴、、共面. 又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. 4分 Ⅱ、Ⅲ同解法一． 解法三Ⅰ取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1 中，EK∥AA1，且EKAA1， ∵FCCC1，CC1∥AA1，∴FC EK， ∴四边形EKCF为平行四边形， ∴EF∥CK．又∵CK平面ACD1， EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. 4分 Ⅱ由Ⅰ知EF∥CK，又AB∥CD，