一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。
例1 （2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有 种。（以数字作答）。
分析本题只要用两个基本原理即可解决。
解根据题意，可分类求解第一类，用三种颜色着色，由乘法原理C14C41 C1224种方法；
第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C14C41 C12 C1148种方法。
从而再由加法原理，得244872种方法。故应填72。
二、特殊元素（位置）优先 例2 从a,b,c,d,e这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法 解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排b，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类第一类，取出的4个元素中有b,则排b有A种方法；
再从a,c,d,e中取出3个排另外三个格子有A种所以此类共有A种。第二类，取出的4个元素中没有b，则有A种方法，所以共有A A96种放法. 解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A种（从a,c,d,e中取一个）再排另三格有A种，所以共有A.A种放法。
解法三（间接法） 三、捆绑法 例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A B C D 解油画整体、国画整体、水彩画个“元素” 先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有种方法，又幅油画的不同陈列方式有种，幅国画陈列方式 有种，因而，画展的不同陈列方式 有种，故选D. 四、插空法 例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种 解由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有种。
练 （1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有多少种。（120种） 五、排除法 例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 解由六个面任取三个共有C3620种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-812种。故选B。
六、对称比例法 有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。
例6 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于 5000的偶数共有（ ） A．60个 B．48个 C．36个 D．24个 解全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位上出现2，或4的可能性为 ，在余下的四个数中，万位上出现满足条件的数字的可能性为，故满足条件的五位数 共有 A5536。故选C。
例7 用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A．24个 B．30个 C．40个 D．60个 解五个数字选三个组成的三位数共有A35个，其中2，4为个位数的占，所以满足条件的偶数共有A3524。故选A。
七、多元分类法 对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。
例8 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ） A． 1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种 解先从10人中选出2人承担甲项任务，有C210种选法，再从余下的8人中选1人承 担乙项任务，有8种，最后从7人中选1人承担丙项任务，有7种，所以根据乘法原理知共有C210872520种。故选C。
例9一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植 一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种。
解先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；
再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；
又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。而作物B种植的情况与作物A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（321）212种。
练习 ① 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有B Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 ② 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为B A．324 B．328 C．360 D．648 ③ 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数 C A 85 B 56 C. 49 D. 28 ④ 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14B.24C.28D.48 A ⑤ 某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人开会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自不同企业的可能情况的种数为（ ）B A、14 B、16 C、20 D、48 ⑥从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ B ） A.280种 B.240种 C.180种 D.96种 ⑦有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担 这三项任务，不同的选法共有（ C ） A． 1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种 ⑧一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植 一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 12 种。
八、先取后排法 例10．有5个男生和3个女生，从中选5 个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。⑴有女生但人数少于男生⑵某女生一定要担任语文科代表。⑶某男生必须在内，但不担任数学科代表。⑷某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表。
分析比较复杂的排列组合混合问题，一般要遵循先取后排的原则。
解⑴可分为1女4男和2女3男，共计不同的选法种数为，任科代表种数为，即（5400 ⑵某女生一定要担任语文科代表，余4门科代表从余下的7人中任选有 种。
⑶某男生从除数学外四科中任选一科代表有，余4科从余下的7人中任选共有不同种数为 ⑷某女生任语文科代表，某男生从余下3种（数学除外）中任一科有种，余3科代表由余下6人中选项任，共计不同安排总数为种。
九、转化法 例11．将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每校至少1个保额，问名额分配的方法共有多少种 解问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数，相当于用6 块隔板插在11个间隔中，共有种不同的方法。
例12．10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同跨法 解由题意知要有4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，问题等价于只要在7步中任意选3步双级即可。故种。
十、隔板法 例13 20个相同的球分放在三个盒中，不允许有盒不放球，有多少种分法 解将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别放在三个盒中，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为C219种方法。
练一练 （1）7个相同的小球, 任意放入四个不同的盒子里, 则问每个盒子都不空的放法共有（ ）种 （2）15个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒中，要求盒中的球数不少于编号数，问有多少种不同的放法。
（3）要从7所学校选出10人参加素质教育研讨会，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有多少种不同的分配方法 （4）将组成蓝球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1人，问名额的分配方式共有多少种 种不同的方法。
（5）马路上有编号为1，2，3，4，5，。。。10盏路灯，现要关掉其中3盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足条件的关灯方法有（ 20 ）种。用 隔板法处理该题． 6 6个人带10汽水去春游, 每人至少带一瓶, 一共有多少种携带方法 27 十一、定序问题倍缩法 3 在100,101,102,,,,,999之中,由三个不同数码按递增或递减的次序排列成三位数的个数是 204个 4 某仪表显示屏上一排有7个小孔, 每个小孔可以显示出0或1, 若每次显示出其中的3个孔,但相邻的两个孔不能同时显示, 则这个显示屏可以显示的不同信号种数是 80 十二 均分与不均分的分组问题,定向与不定向的分配问题 1. 北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A （A） （B） （C） （D） 2. 从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ B ） A．300种B．240种C．144种D．96种 3.将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ A ） A．70B．140C．280D．840 4.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ D ） A．B．C．D． 5．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 D A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 6