第2讲 两条直线的位置关系 分层A级 基础达标演练 时间30分钟 满分55分 一、选择题每小题5分，共20分 1．2013泰安一模过点A2,3且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为 ． A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析 由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A2,3代入上式得2－23＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0. 答案 A 2．2012江西八所重点高中联考“a＝0”是“直线l1a＋1x＋a2y－3＝0与直线l22x＋ay－2a－1＝0平行”的 ． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 当a＝0时，l1x－3＝0，l22x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；
当l1∥l2时，aa＋1－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l12x＋y－3＝0，l22x＋y－3＝0， 此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件． 答案 C 3．2013金华调研当0k时，直线l1kx－y＝k－1与直线l2ky－x＝2k的交点在 ． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，故交点在第二象限． 答案 B 4．已知直线l过点P3,4且与点A－2,2，B4，－2等距离，则直线l的方程 为 ． A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 解析 由题意可得直线l的斜率存在，故设所求直线方程为y－4＝kx－3， 即kx－y＋4－3k＝0， 由已知，得＝， ∴k＝2或k＝－. ∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 答案 D 二、填空题每小题5分，共10分 5．2012东北三校二模已知直线l1ax＋3y－1＝0与直线l22x＋a－1y＋1＝0垂直，则实数a＝________. 解析 由两直线垂直的条件得2a＋3a－1＝0，解得a＝. 答案 6．2013湘潭质检若过点A－2，m，Bm,4的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________． 解析 因为过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，所以kAB＝＝－2，即m＝－8. 答案 －8 三、解答题共25分 7．12分已知两直线l1ax－by＋4＝0和l2a－1x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． 1l1⊥l2，且直线l1过点－3，－1；
2l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 1∵l1⊥l2，∴aa－1－b＝0. 又∵直线l1过点－3，－1，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2. 2∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 8．13分已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． 1点A5,0到l的距离为3，求l的方程；
2求点A5,0到l的距离的最大值． 解 1经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λx－2y＝0，即2＋λx＋1－2λy－5＝0， ∴＝3.解得λ＝2或λ＝. ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 2 由 解得交点P2,1， 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|当l⊥PA时等号成立． ∴dmax＝|PA|＝. 分层B级 创新能力提升 1．将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点4,0重合，点7,3与点m，n重合，则m＋n＝ ． A．4 B．6 C. D. 解析 由题可知纸的折痕应是点0,2与点4,0连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点7,3与点m，n连线的中垂线，于是解得 故m＋n＝. 答案 C 2．2013长沙模拟若动点A，B分别在直线l1x＋y－7＝0和l2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ． A．3 B．2 C．3 D．4 解析 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1x＋y－7＝0和l2x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为lx＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即lx＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3. 答案 A 3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________． 解析 由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2， 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0， 由两平行线间的距离，得＝， 解得c＝2或c＝－6，所以＝1. 答案 1 4．直线l被两条直线l14x＋y＋3＝0和l23x－5y－5＝0截得的线段的中点为P－1,2，求直线l的方程． 解 法一 设直线l与l1的交点为Ax0，y0，由已知条件，得直线l与l2的交点为B－2－x0,4－y0，并且满足 即解得 因此直线l的方程为＝， 即3x＋y＋1＝0. 法二 设直线l的方程为y－2＝kx＋1，即kx－y＋k＋2＝0. 由得x＝. 由得x＝. 则＋＝－2，解得k＝－3. 因此所求直线方程为y－2＝－3x＋1，即3x＋y＋1＝0. 5．已知直线l1x－y＋3＝0，直线lx－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程． 解 法一 因为l1∥l，所以l2∥l， 设直线l2x－y＋m＝0m≠3，m≠－1． 直线l1，l2关于直线l对称， 所以l1与l，l2与l间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得＝， 解得m＝－5或m＝3舍去． 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 法二 由题意知l1∥l2，设直线l2x－y＋m＝0m≠3，m≠－1． 在直线l1上取点M0,3， 设点M关于直线l的对称点为M′a，b， 于是有解得即M′4，－1． 把点M′4，－1代入l2的方程，得m＝－5， 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 6．2010安徽已知椭圆E经过点A2,3，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝. 1求椭圆E的方程；
2求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
3在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点若存在，请找出；
若不存在，说明理由． 解 1设椭圆E的方程为＋＝1， 由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2. ∴椭圆方程可化为＋＝1. 将A2,3代入上式，得＋＝1，解得c＝2. ∴椭圆E的方程为＋＝1. 2由1知F1－2,0，F22,0， ∴直线AF1的方程为y＝x＋2， 即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2. 由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率大于0. 设Px，y为l上任一点，则＝|x－2|. 若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0因其斜率为负，舍去．于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0， ∴直线l的方程为2x－y－1＝0. 3假设存在Bx1，y1，Cx2，y2两点关于直线l对称，则l⊥BC，∴kBC＝－. 设直线BC的方程为y＝－x＋m，将其代入椭圆方程＋＝1，得一元二次方程3x2＋42＝48， 即x2－mx＋m2－12＝0.则x1与x2是该方程的两个根． 由根与系数的关系得x1＋x2＝m，于是，y1＋y2＝－x1＋x2＋2m＝，∴线段BC的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y＝2x－1上，∴＝m－1，得m＝4. 即线段BC的中点坐标为2,3，与点A重合，而这是不可能的．∴不存在满足题设条件的相异两点. 6