2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三数学 试卷 2020.1 （时间100分钟 满分150分） 考生注意∶ 1．本试卷含三个大题，共25题；
答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是 （A）该函数图像有最高点；
（B）该函数图像有最低点；
（C）该函数图像在轴的下方；
（D）该函数图像在对称轴左侧是下降的． A B C D E F （第2题图） 2．如图，，，，，那么下列结论正确的是 （A）；
（B）；
（C）；
（D）． 3．已知点是线段上的点，且，那么的值是 （A）；
（B）；
（C）；
（D）． 4．在中，，，，那么下列结论正确的是 （A）；
（B）；
（C）；
（D）． 5．跳伞运动员小李在米的空中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时小李离 着落点的距离是 （A）米；
（B）米；
（C）米；
（D）米． 6．下列命题中，假命题是 （A）凡有内角为的直角三角形都相似；
（B）凡有内角为的等腰三角形都相似；
（C）凡有内角为的直角三角形都相似；
（D）凡有内角为的等腰三角形都相似． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算__▲___． 8．已知线段厘米、厘米，那么线段、的比例中项__▲___厘米． 9．如果两个相似三角形的对应高比是，那么它们的相似比是__▲___． 10．四边形和四边形是相似图形，点、、、分别与点、、 、对应，已知，，，那么的长是__▲___． 11．已知二次函数，如果，那么随的增大而__▲___． 12．同一时刻，高为米的学校旗杆的影长为米，一座铁塔的影长为米，那么此铁塔 的高是__▲___米． 13．一山坡的坡度，小刚从山坡脚下点处上坡走了米到达点处，那么 他上升的高度是_▲_米． 14．在中，点分别在边上，，，，， ，那么的长是__▲___． 15．如图，在中，，，，正方形内接于， 点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长是 __▲___． 16． 如图，在中，点在边上，，，，， 那么的值是__▲___． 17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，是“中垂三角 形”，其中的中线互相垂直于点，如果，，那么 两点间的距离是__▲___． 18．如图，在矩形中，，，将矩形绕着点顺时针旋转后 （第18题图） A B C D （第16题图） A B C D （第15题图） A B C D E F G （第17题图） A B C D E G 得到矩形，点的对应点在对角线上，点、分别与点、对 应，与边交于点，那么的长是__▲___． 三、（本大题共7题，第1922题每题10分；
第23、24题每题12分；
第25题14分；
满分78分） 19．（本题满分10分） 已知． （1）求代数式的值；
（2）如果，求、、的值． 20．（本题满分10分） 已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如下表所示 （1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和的值；
（2）设该二次函数图像与轴的左交点为，它的顶点为，该图像上点的横坐标为，求的面积． 21．（本题满分10分） C A 北 B （第21题图） 如图，一艘游轮在离开码头处后，沿南偏西方向行驶到达处，此时从处发现灯塔在游轮的东北方向，已知灯塔在码头的正西方向米处，求此时游轮与灯塔的距离（精确到米）． 参考数据，，． 22．（本题满分10分） 如图，在中，是的角平分线，，，． （1）设，，求向量（用向量、表示）；
A B C D E （第22题图） （2）将沿直线翻折后，点与边上的点重合，联结，求的值． 23．（本题满分12分） A B C D E F G H （第23题图） 如图，在中，点、、、分别在边、、上，，，，与交于点． （1）求证 ；
（2）联结、，求证． 24．（本题满分12分） 如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是． （1）求点的坐标；
（2）设点在新抛物线上，联结、，如果平分，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式． （第24题图） A D C B O x y 25．（本题满分14分） 如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点、重合），点在边的延长线上，，，与边交于点． （1）求的值；
（2）当时，求的长；
D B A C G F E （第25题图） B A C （备用图） （3）点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化如果不变化，请求的值；
如果变化，请说明理由． 2019学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C；
2．D；
3．A；
4．B；
5．D；
6．B． 二．填空题（本大题共12题，满分48分） 7．；
8．；
9．；
10．；
11．增大；
12．；
13．；
14．；
15．；
16．；
17．；
18．． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解（1）由题意，设． ∴． （2）由题意和（1），得 ；
解得 ；
∴，，． 20．解（1）该二次函数图像的开口方向向上；
对称轴是直线；
顶点坐标是；
的值是． （2）由题意，得、、；
∵；
∴；
∴；
∴． 21．解过点作，垂足为． 由题意，得，；
又；
∴；
设，则． 在中，，∴，即；
∴，解得；
∴． 答此时游轮与灯塔的距离约为米． 22．解（1）∵，∴；
∵平分，∴；
∴；
又，∴∽；
∴；
即；
得；
∴；
∴ ；
又；
∴． （2）由题意，可得，；
又，， ∴；
∴；
∴∽；
∴． 23．证明（1）∵，，， ∴；
∴；
∴，；
∴，；
∴∽；
∴；
即． （2）∵，，∴，；
∴；
∴；
∴；
又，∴；
∵∽，∴；
∴． 24．解（1）由题意，设新抛物线的表达式为． ∵抛物线的顶点为，∴，；
在中，， ∴，得；
∴；
由题意，得，解得；
∴新抛物线的表达式为；
∴． （2）由题意，可得；
过点作，垂足为．∴；
∴；
∴；
又，∴∽， ∴；
∵平分，∴；
∴；
∴；
∴；
∴点与点关于直线对称；
∴． （3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为 或． 25．解（1）过点分别作、，垂足分别为． 在中，，；
在中，，；
得；
∴；
在中，，∴． （2）以点为圆心长为半径作弧交于点，过点作于． ∴可设；
∴， 又；
∴；
∴；
则；
在中，，∵， 即；
解得 ；
即． （3）点在边上运动过程中，的值不变，． 联结． ∵，∴；
∴；
又，， ∴；
∴；
∵，；
∴∽；
∴，；
又，∴∽；
∴． 又，， ∴；
∴；
即；
∴∽；
∴． 8