选修41 几何证明选讲 真题试做 1．2020北京高考，理5如图，∠ACB＝90，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则 ． A．CECB＝ADDB B．CECB＝ADAB C．ADAB＝CD2 D．CEEB＝CD2 2．2020天津高考，理13如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________． 3．2020课标全国高考，理22如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明 1CD＝BC；
2△BCD∽△GBD. 考向分析 从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及其性质定理；
二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档． 预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视． 热点例析 热点一 相似三角形问题 【例１】如图，点P是⊙O的直径CB的延长线上一点，PA和⊙O相切于点A，若PA15，PB5. 1求tan∠ABC的值；
2若弦AD使∠BAD∠P，求AD的长． 规律方法 在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题 1应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形． 2判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件． 3如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线． 4如果有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决． 变式训练1 如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作一直线AP垂直于直线OM，垂足为P. 1证明OMOPOA2；
2N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K，证明∠OKM＝90. 热点二 有关圆的切线、弦切角问题 【例２】如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明 1∠ACE＝∠BCD；
2BC2＝BECD. 规律方法 与圆的切线有关的几何证明问题处理思路 1若两圆相切，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系． 2在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系． 变式训练2 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2r1＞r2．圆O1的弦AB交圆O2于点CO1不在AB上． 求证AB∶AC为定值． 热点三 圆内接四边形的判定与性质 【例３】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB1，PD3，则的值为__________. 规律方法 有关圆内接四边形问题的处理思路 1圆内接四边形亦即四点共圆的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系以及外角与其内对角的相等关系等． 2通常情况下先把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，再利用题设条件来解决问题． 3值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；
在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成． 变式训练3 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED. 1证明CD∥AB；
2延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明A，B，G，F四点共圆． 热点四 有关与圆相关的比例线段问题 【例４】如图，在△ABC中，∠C90，BE是∠CBD的角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆． 1求证AC是⊙O的切线；
2如果AD6，，求BC的长． 规律方法 与圆有关的比例线段问题的处理思路解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析，当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节． 变式训练4 如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为__________． 1．如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值等于 ． A． B．1 C． D． 2．原创题如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，则图中与△ABC相似的三角形有 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．2020北京丰台区3月模拟，12如图所示，Rt△ABC内接于圆，∠ABC＝60，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆于点D.若PA＝AE，PD＝，BD＝3，则AP＝__________，AC＝__________. 4．2020湖北华中师大一附中5月模拟，15如图所示，圆O的直径为6，C为圆周上一点，BC＝3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD＝__________. 5．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则__________. 6．2020江苏镇江5月模拟，21如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P. 求证PD2＝PAPC. 7．2020吉林长春实验中学模拟，22如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与△ABC的外接圆交于点P，交BC的延长线于点D. 1求证＝；
2若AC＝3，求APAD的值． 参考答案 命题调研明晰考向 真题试做 1．A 2． 3．证明1因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC. 又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形， 所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，连接AF， 所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB， 所以BC＝AF，故CD＝BC. 2因为FG∥BC，故GB＝CF. 由1可知BD＝CF，所以GB＝BD. 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. 精要例析聚焦热点 热点例析 【例1】解1连接AC， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90. 又∵PA为切线， ∴∠BAP＝∠C. 又∵∠P＝∠P， ∴△PAB∽△PCA. ∴＝＝＝3. ∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝3. 2由切割线定理，得PA2＝PBPC， 即PA2＝PBPB＋BC． 又PA＝15，PB＝5，∴BC＝40. 设AB＝x，则AC＝3x. 由勾股定理，得AC2＋AB2＝BC2， 即x2＋3x2＝402， 得x＝4舍去负根． 连接BD，在△PAB和△ADB中， ∠PAB＝∠D，∠P＝∠BAD， ∴△PAB∽△ADB. ∴＝， ∴AD＝＝＝12. 【变式训练1】证明1因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM. 又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理，知OA2＝OMOP. 2因为BK是圆O的切线，BN⊥OK， 同1，有OB2＝ONOK， 又OB＝OA，所以OPOM＝ONOK， 即＝， 又∠NOP＝∠MOK， 所以△ONP∽△OMK， 故∠OKM＝∠OPN＝90. 【例2】 证明1因为， 所以∠BCD＝∠ABC， 又因为EC与圆相切于点C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. 2因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB， 故＝，即BC2＝BECD. 【变式训练2】证明过A作两圆的公切线，连接O1A，O1B，O2C，由弦切角定理，易得∠AO2C＝∠AO1B， 所以O1B∥O2C， 所以△O1AB∽△O2AC， 所以AB∶AC＝O1A∶O2A＝r1∶r2. 故AB∶AC为定值． 【例3】 解析∵∠P＝∠P，∠A＝∠PCB，∴△PCB∽△PAD. ∴＝＝. 【变式训练3】证明1因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB. 2由1知，AE＝BE， 因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 从而∠FED＝∠GEC. 连接AF，BG，则△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180. 故A，B，G，F四点共圆． 【例4】1证明连接OE， 因为OE＝OB， 所以∠OEB＝∠OBE. 又因为BE平分∠CBD， 所以∠CBE＝∠DBE. 所以∠OEB＝∠CBE. 所以EO∥CB. 因为∠C＝90， 所以∠AEO＝90，即AC⊥OE. 因为E为⊙O半径OE的外端，所以AC是⊙O的切线． 2解因为AC是⊙O的切线， 所以AE2＝ADAB. 因为AE＝6，AD＝6， 所以62＝6AB. 解得AB＝12，则OD＝OB＝3. 因为EO∥CB，所以＝. 所以＝.解得BC＝4. 【变式训练4】2 创新模拟预测演练 1．B 2．C 3．2 3 4． 5． 6．证明连接OE， 因为PE切⊙O于点E， 所以∠OEP＝90. 所以∠OEB＋∠BEP＝90. 因为OB＝OE，所以∠OBE＝∠OEB. 因为OB⊥AC于点O， 所以∠OBE＋∠BDO＝90. 故∠BEP＝∠BDO＝∠PDE，PD＝PE. 又因为PE切⊙O于点E， 所以PE2＝PAPC. 故PD2＝PAPC. 7．1证明∵∠CPD＝∠ABC，∠D＝∠D， ∴△DPC∽△DBA， ∴＝. 又∵AB＝AC，∴＝. 2解由1可得，∠ACD＝∠APC， ∵∠CAP＝∠CAP， ∴△APC∽△ACD，∴＝. ∴AC2＝APAD＝9.