平面向量在中学数学解题中的妙用

1 8 中学教研 数学 2 0 0 5 年第5 期 AI G2 G O 2 A 1 0 一上 一 2 GA1 GO1 2 设异面 直线A 1 B与A O 1 所 成角 为口 则 c o s I c o s O co s 2 I 异 面 直 线 A 1B A O 1 所 成 角 为 a 煳号 注 由 于 易 得 t t 万 2 t z 一 G A t 则 由 定 理 可 得 异 面 直 线 A I B 与 A 0 1 距 离 d 一 1 c o t 2 0 1 c o t 2 0 2 2 角和距离公式解决问 题 其解题程序总结如下为 一 找 二算 三结论 一 找 寻找或构造基本图形 即寻找或构造 一 个直二面角 使问 题涉及的两条异面直线分别在 的这个直二面角的两个面内 二算 计算和准备基本数量 即根据题设条 件计算出异面直线角和距离公式中涉及的基本数量 0 1 0 2 口 的值 三结论 应用公式得所需结论 参考文献 纵观上述各题 虽然问题涉及的图形各不相同 但只要能透过现象看本质 实际上都可以化归为同 1 雷晓莉 构造异面直线所成角的方法与规律 中 一 个基本图形 运用上述定理给出的两异面直线的 学教刃 F 2 o o 5 1 置方击与技巧 题方击与技巧 题方法与技巧 题方法与技巧 麓方击与技巧 题方怯与技巧 解题方法与技巧 题方法与技巧 解题方怯与 平 面 向量 在 中 学数 学 解 题 中的 妙 用 葛正平 浙江东 阳 市 巍山 高 级中 学 3 2 2 1 0 9 技巧 c b 学 教 研 由 学 教 研 解 题方 法与 技巧 解题 方法 与技 巧 篡方 法 与技 巧一 曩方 法与 技巧 解题 方法 与技 巧 解 题方 法与技 巧 解 题方法与 技 巧 解题 方法与 技巧 解 题方 法与技 巧 向 量知识已经进入中学数学教材 由于向量融 数 形于一体 因而成为中学数学知识的一个交汇 点 向 量作为一种工具 为解决中学数学问题提供了 新的思路 进一步拓宽了思维渠道 下面归纳分析平 面向量在中学数学中的一些妙用 1 向量在不等式中的应用 在不等式证明中 若能根据不等式特点 构造向 量 借助向量的有关知识 有时会收到意外的效果 例 1 已知 y ER 且l l 1 l l 1 求证 I x y 1 一 1 一 Y I 1 证明 设 v 厂 佣 则 I I 1 由 I I I 得 I z y 1 1 一 Y I 1 2 向量在立体几何中的应用 用向 量法解立体几何题 一般的做法是在平面 上确定两个不共线的向 量作为基向量 在空间确定3 个不共面的向量作为基向量 然后把平面或空间的 任一向量均用基向量表示 例3 如图1 已知正三棱柱A B C A 1 B 1 C I 的 所有棱长都相等 D是A A1 的中点 求 B C 1 与 C D 所成的角 第十一届 希望杯 数学邀请赛 分析本题所求的是异面直线所成的角 而向 量的夹角公式是o 0 s 为表示向量 B C 1 C D 选择共点的3 个向量 作为 基向量 解 痢 且 I I I 1 一 蕊 百 反 一t3 2 乏 G 一 号 G 一 上 盟 2 2 2 L u 1 0 1 c 0 S 6 O O j I 维普资讯 2 0 0 5 年第5 期 中学 教研 数学 1 9 百 与 所成角为 直角 3 向量在平面几何中的应用D 由于平面向量作为一种 有向线段 其本身就是直线上 的一段 因而向量与平面几何 保持着某种天然的联系 利用 向 量的运算性质能把几何问 Bl 图 1 c 量的数量积 等式右边是两向量数量积的坐标形式 Cl 题的研究从 定性 转向 定量 使推理证明变得简 单 例3 如图2 已知 位于同一个平面内的正 三角形 A B C E和 E H K 顶点依逆时针方 向排列 并且 A D D K 证明 B 也是 正三角形 图 2 1 9 8 1 年苏 联试题 简析将 C 绕C点逆时针旋转6 0 易知 其得到 C B E I A DI I B EI 且 A D B E夹角为6 0 又 A D D K I I I I I 蔗 I 且赢 蔗 的 夹角 也是6 0 再将 AH B E绕 H 顺时针旋转 6 0 又因为 AE H K是正三角形 所以点 E转到K 线段 E B与 K ID重合 即B转到D 于是I I 菌 商 夹角为6 0 AB H D是正三角形 评析此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明 了正三角形的结论 实际题中条件 A D D K 等价 于 在一直线上 这个条件 读者可以利用初等平面 几何知识进行证明 但均不如向量证法简洁明了 4 向量在三角函数中的应用 在传统的三角教材中推导两角差的余弦公式 时 过程比 较复杂 而利用向量的数量积证明就简明 得多 例4 证明公式 c o s 口 一口 c o s a c o s s i n a s i n 3 分析观察等式右边的结构 可以联想到平面 向量的数量积 这就 启发我们构造两个单位向量 它们的夹角为a 这样c o s a 就是两单位向 证明 如图3 在单位圆 上任取两点A B 设以O x轴 为始边 O A O B为终边的角 分设为 a 则 向量 o 0 s 口 s in a 0 e s in I Q 1 0 1 o 3 C O S a s i n a s i n 3 又 葫 图 3 I G I G T c o s 一 c o s n 一 c o a c o s a c o s 3 s i n a s i n B 5 向量在解析几何中的应用 向 量在解析几何中的应用更加直接 不少问题 应用向量解决 往往能简化运算 收到意想不到的结 果 例5 设抛物线 2 p x的焦点为F 经过点F 的直线交抛物线于A B两点 点 C在抛物线的准 线上 且B C 轴 证明直线A C经过原点0 2 0 0 1 年全国高考题 解如 图 4 由条件 知 F 号 0 A B 在 抛 物线 2 加 上 设 A 秀 B 秀 c 在 准 线 一 号 上 可 设 C 一 P 肋 则 一 o l C 图 4 秀 一 号 赢 商 寻 岿 A B F三点共线 整理得 又 一 Y B 0 一 u Y A 如 一P 一 一 号 一 o A 0 C 三点共线 故直线A C经 过原点0 维普资讯