高等数学,武大社,精品高职,第七章,定积分的应用

高等数学 第一节定积分的微元法 第二节定积分的几何应用 第三节定积分的物理应用 第四节定积分的经济应用 1 定积分的微元法 2 定积分的几何应用 3 定积分的物理应用 4 定积分的经济应用 学习重点 第七章定积分的应用 前面我们从分析解决曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个例子引入了定积分的概念 如果用定积分来表示的量U满足以下条件 1 U依赖于区间 a b 当将 a b 分成若干子区间后 量U成为对应于各子区间上分量 U的和 2 U依赖于区间 a b 上的某函数 3 在 a b 的微小子区间 x x dx 上对应的部分量 U f x dx 若记量U的微元为dU 即有 U dU U与dU的差是比dx高阶的无穷小 那么以dU f x dx为积分表达式 从x a到x b的定积分 baf x dx就是所求量U 第一节定积分的微元法 综上可知 用定积分解决实际问题的方法和步骤如下 1 根据问题的实际情况 选取一个变量为积分变量 并确定它的变化区间 a b 2 把区间 a b 分成n个小区间 取其中一个小区间并记 x x dx 求出该小区间上 U的近似值dU 若dU f x dx 就把f x dx称为量U的元素 3 以元素f x dx为积分表达式 在区间 a b 上作定积分 得U baf x dx 这种方法称为定积分的微元法 第一节定积分的微元法 下面我们以求曲边梯形的面积为例 介绍如何用定积分来求平面图形的面积 设函数y f x 在区间 a b 上连续 求由x轴 曲线y f x 直线x a x b a b 所围成的图形的面积A 一 平面图形的面积 第二节定积分的几何应用 第一步 选积分变量x a b 和典型区间 x x dx a b 第二步 在 x x dx 上用矩形面积代替小曲边梯形面积 A f x 为小矩形的高 则得到面积微元为dA f x dx 所求图形的面积为A baf x dx 第二节定积分的几何应用 通过类似地方法 我们可以得到如下几种图形的面积计算公式 第二节定积分的几何应用 由连续曲线y f x 和直线x a x b a b 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的几何体叫作旋转体 这个几何体的体积也可以用微元法讨论 第一步 选取积分变量x a b 和典型区间 x x dx a b 第二步 在子区间 x x dx 上 小旋转体的体积可以用以f x 为半径 dx为高的小圆柱体的体积近似代替 而小圆柱体的体积为dV f2 x dx 二 旋转体的体积 第二节定积分的几何应用 在 a b 上积分得旋转体的体积为Vx baf2 x dx 用类似的方法 可求得由曲线x g y 及直线y c y d与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积为Vy dcg2 y dy 第二节定积分的几何应用 若曲线上每一点都具有切线 且切线随切点的移动而连续转动 则称该曲线为光滑曲线 如果函数y f x 在区间 a b 上可导 且导数f x 在 a b 上连续 则曲线y f x 是区间 a b 上一条光滑曲线 三 平面曲线的弧长 第二节定积分的几何应用 设有变力F f x 沿x轴将物体从点a处移动到点b处 求F所做的功 由于力F是变化的 所以常力做功的公式W F s不再适用 我们可以用微元法来解决这类问题 一 变力沿直线所做的功 第三节定积分的物理应用 取x为积分变量 积分区间为 a b 取典型区间 x x dx a b 在此区间 x x dx 上 力可以看成是不变的 因而在该小区间上力F f x 所做的功为dW f x dx 故变力所做的功是W baf x dx 第三节定积分的物理应用 设垂直放置在液体中的薄板为曲边梯形 用微元法求薄板所受液体的压力 在深度x处取一宽度为dx的水平小薄板 其面积为f x dx 则压力微元为dP gxf x dx 于是可得液体的压力P ba gxf x dx 其中 为液体的密度 二 液体的压力 第三节定积分的物理应用 定积分的微分法在经济中应用非常广泛 如由边际需求求总需求 由边际成本求总成本 由边际收益求总收益 由边际利润求总利润等 一 已知边际函数求总量 第四节定积分的经济应用 设企业在 0 T 时间内的收入流的变化率为f t 年利率为r 则总收入的现值为 T0f t e rtdt 总收入的终值为 T0f t e T t rdt 二 投资问题 第四节定积分的经济应用 有一宽为2m 高为3m的矩形闸门 铅直放置 顶部在水面下2m处 求闸门一侧受到的水压力 思考题 第七章定积分的应用 谢谢观看