云南省玉溪一中2020届高三数学下学期第五次调研考试试题 理 考试时间120分钟, 满分150分 注意事项 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息,请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若集合，，则（ ） A．{1,2} B．[1,2] C．1,2 D． 2.已知i是虚数单位，复数z满足，则的虚部是（ ） A．1 B．i C．－1 D．－i 3.函数的大致图象如右图所示，则函数的图象可能是 4.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．9B．12C．16 D．10 6.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20 B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20 C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20 D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20 A．4 B．2 C． D． 8. A. B. C. D. 9.三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，ABBC4,AA16，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A．68π B．32π C．17π D．164π 10.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ） A． B． C． D． 11.设点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C. D． 12.设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.的展开式中的系数是 ． 14.在平面四边形ABCD中， ,则BC ． 15.在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ． 16.已知函数，若的四个根为，且,则 ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，第22、23题为选考题） 17.若数列的前项和为，首项且． （1）求数列的通项公式；
（2）若，令，数列的前项和为，若恒成立，,求的最小值． 18.某市在2020年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N120，25．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95，第二组[95，105，，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图． 1试估计该校数学成绩的平均分数；
2若从这50名学生中成绩在125分含125分以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望． 附若X～Nμ，σ2，则Pμ－σXμ＋σ＝0.6826， Pμ－2σXμ＋2σ＝0.9544，Pμ－3σX0，且与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点． 1求抛物线方程；
2是否为定值，若是，求出这个定值；
若不是，请说明理由；
3当t＝1时，设＝λ，记|AB|＝fλ，求fλ的最小值及取最小值时对应的λ． 21.已知函数. 1判断函数在区间上的单调性；
2若且，证明. 选做题请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡选答区域指定位置答题 22.[选修4-4坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，直线l的直角坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，与直线l在第三象限交于A点，直线l与在第一象限的交点为B,求． 23.[选修4-5不等式选讲] 已知函数. （1）求不等式的解集M；
（2）证明当时，. 玉溪一中第五次调研考试参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B C B A B A C C A 二、 填空题 13、192 14、 15、 3 16、 2 三、解答题 17、（1）当时，，则 当时，， 即或，或 （2）由，， ， 又 18、1由频率分布直方图可知[125，135的频率为1－0.01010＋0.02410＋0.03010＋0.01610＋0.00810＝0.12. 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.1＋1000.24＋1100.3＋1200.16＋1300.12＋1400.08＝112. 2由于＝0.001 3，根据正态分布得P120－35X120＋35＝0.997 4. 故PX≥135＝＝0.001 3，即0.001 310 000＝13. 所以前13名的成绩全部在135分以上． 根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上包括135分的有500.08＝4人，而在[125，145]的学生有500.12＋0.08＝10. 所以X的取值为0，1，2，3. 所以PX＝0＝＝，PX＝1＝＝， PX＝2＝＝，PX＝3＝＝. 所以X的分布列为 x 0 1 2 3 P EX＝0＋1＋2＋3＝1.2. 19、（Ⅰ）证明∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB2，ADCD1，∴ACBC， ∴AC2BC2AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PCC，∴AC⊥平面PBC， ∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． （Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）． 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，）， （1，1，0），（0，0，a），（，﹣，）， 取（1，﹣1，0），则0，为面PAC的法向量． 设（x，y，z）为面EAC的法向量，则0， 即取xa，y﹣a，z﹣2，则（a，﹣a，﹣2）， 依题意，|cos＜，＞|，则a2． 于是（2，﹣2，﹣2），（1，1，﹣2）． 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ|cos＜，＞|， 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． 20、（1）① （2）设，据题意知直线的斜率存在，设② 联立①②得， .由于T（0，t）为定点，故t为定值，为定值. 3 ,,, ,由（2）知， ，且，又， 当时，，，，；
当时，，符合上式. ，令，则，， 当 21、（1） ，， 当时， 又， 令，得. （2）要证即证成立 当时，. . 令 在单调递增 又即 ， 而由知，由（1）知在单调递减. 即. 22、（1） （2） ， 23、（1） （2） ，