第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A{x|–2x1}，B{x|x3}，则AB （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} 【答案】A 【解析】利用数轴可知，故选A. （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）（–∞，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，∞） （D）（–1，∞） 【答案】B 【解析】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得，故选B. （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B） （C） （D） 【答案】C （4）若x，y满足 则x 2y的最大值为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值 ，故选D. （5）已知函数，则 （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A （6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么 ；
若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A. （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 【答案】B 【解析】几何体是四棱锥，如图. 最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为，故选B. （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 【答案】D 【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线的离心率为，则实数m_________. 【答案】2 【解析】，所以，解得. （10）若等差数列和等比数列满足a1b1–1，a4b48，则_______. 【答案】1 【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么. （11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________. 【答案】1 （12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则___________. 【答案】 【解析】因为和关于轴对称，所以，那么， （或）， 所以. （13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则ab＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________． 【答案】−1，−2，−3（答案不唯一） 【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. （14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i1，2，3. ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________. 【答案】 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分） 在△ABC中，60，ca. （Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a7，求△ABC的面积. 【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为，， 所以由正弦定理得. （Ⅱ）因为，所以. 由余弦定理得， 解得或（舍）. 所以△ABC的面积. （16）（本小题14分） 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PAPD，AB4． （I）求证M为PB的中点；
（II）求二面角B−PD−A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解析】（I）设交点为，连接. 因为平面，平面平面，所以. 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点. （II）取的中点，连接，. 因为，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为是正方形，所以. 如图建立空间直角坐标系，则，，， ，. 由题知二面角为锐角，所以它的大小为. （III）由题意知，，. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （17）（本小题13分） 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者. （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论） . 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差. （18）（本小题14分） 已知抛物线Cy22px过点P1，1.过点0，作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证A为线段BM的中点. （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，. 由，得. 则，. 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为. 直线ON的方程为，点B的坐标为. 因为 ， 所以. 故A为线段BM的中点. （19）（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. （20）（本小题13分） 设和是两个等差数列，记， 其中表示这个数中最大的数． （Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明或者对任意正数，存在正整数，当时，；
或者存在正整数，使得 是等差数列． 【解析】（Ⅰ） ， . 当时，， 所以关于单调递减. 所以. 所以对任意，于是， 所以是等差数列. ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，.