第2讲 平抛运动 [考试标准] 知识内容 考试要求 说明 平抛运动 d 1.不要求推导合运动的轨迹方程． 2.不要求计算与平抛运动有关的相遇问题． 3.不要求定量计算有关斜抛运动的问题. 平抛运动 1．定义 将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质 加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．平抛运动的研究方法 将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成． 4．基本规律 以抛出点为原点，水平方向初速度v0方向为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则 1水平方向速度vx＝v0，位移x＝v0t. 2竖直方向速度vy＝gt，位移y＝gt2. 3合速度v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝. 4合位移s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝. 5角度关系tan θ＝2tan α. 自测1 多选某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图1所示．不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为 图1 A．减小初速度，抛出点高度不变 B．增大初速度，抛出点高度不变 C．初速度大小不变，降低抛出点高度 D．初速度大小不变，提高抛出点高度 答案 AC 自测2 从高度为h处以水平速度v0抛出一个物体，要使该物体的落地速度与水平地面的夹角较大，则h与v0的取值应为下列四组中的哪一组 A．h＝30 m，v0＝10 m/s B．h＝30 m，v0＝30 m/s C．h＝50 m，v0＝30 m/s D．h＝50 m，v0＝10 m/s 答案 D 自测3 如图2所示为高度差h1＝0.2 m的AB、CD两个水平面，在AB面的上方与竖直面BC的水平距离x＝1.0 m处，小物体以水平速度v＝2.0 m/s抛出，抛出点距AB面的高度h2＝2.0 m，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2.则小物体 图2 A．落在平面AB上 B．落在平面CD上 C．落在竖直面BC上 D．落在C点 答案 B 命题点一 平抛运动的基本规律 1．飞行时间由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． 2．水平射程x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关． 3．落地速度v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关． 4．重要推论做平抛运动的物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必通过此时水平位移的中点． 例1 2017浙江4月选考13图3中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD的半径R＝2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37.游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关．为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是不计空气阻力，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g＝10 m/s2 图3 A．0.15 m,4 m/s B．1.50 m,4 m/s C．0.15 m,2 m/s D．1.50 m,2 m/s 答案 A 解析 如图所示，OE＝OPcos 37＝2.00.8 m＝1.6 m， PE＝OPsin 37＝2.00.6 m＝1.2 m， 平抛运动的水平位移为x＝BO＋OE＝3.6 m， 即v0t＝3.6 m，OF＝NE＝NP－1.2 m＝y－1.2 m， GF＝－OE＝－1.6 m， 而＝tan 37＝， 解得y＝x＝3.6 m＝1.35 m， 所以弹射器离B点的高度为 h＝MB＝y－PE＝1.35 m－1.2 m＝0.15 m， 又＝tan 37，即＝，v0t＝3.6 m， 代入数据解得v0＝4 m/s，故A正确，B、C、D错误． 变式1 多选如图4所示，将一小球从空中A点以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计空气阻力，则小球从A到B重力加速度为g 图4 A．下落高度为 B．经过的时间为 C．速度增量为v0，方向竖直向下 D．运动方向改变的角度为60 答案 AD 解析 小球经过B点时竖直分速度vy＝＝v0，由vy＝gt得t＝，故B错误；
根据运动学公式得h＝gt2，则h＝，故A正确；
速度增量为Δv＝gt＝v0，方向竖直向下，故C错误；
小球经过B点时速度方向与水平方向夹角的正切值tan α＝＝，α＝60，即运动方向改变的角度为60，故D正确． 变式2 如图5所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正向水平抛出的三个质量相等的小球a、b和c的运动轨迹．小球a从0,2L抛出，落在2L,0处；
小球b、c从0，L抛出，分别落在2L,0和L,0处．不计空气阻力，下列说法正确的是 图5 A．b的初速度是a的初速度的2倍 B．b的初速度是a的初速度的倍 C．b的动能增量是c的动能增量的2倍 D．a的动能增量是c的动能增量的倍 答案 B 解析 a、b的水平位移相同，但时间不同， 根据t＝可知＝， 根据v0＝可知＝，故A错误，B正确；
b、c的竖直位移相同，根据动能定理ΔEk＝mgh可知，b的动能增量等于c的动能增量，选项C错误；
a的竖直位移是c的2倍，根据动能定理可知，a的动能增量等于c的动能增量的2倍，选项D错误． 变式3 如图6所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角图中P点．球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动足球可看成质点，则 图6 A．足球位移的大小x＝ B．足球初速度的大小v0＝ C．足球末速度的大小v＝ D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝ 答案 B 解析 足球位移大小为 x＝＝，A项错误；
根据平抛运动规律有h＝gt2，＝v0t， 解得v0＝，B项正确；
根据动能定理可得mgh＝mv2－mv02 解得v＝＝，C项错误；
足球初速度方向与球门线夹角的正切值tan θ＝＝，D项错误． 命题点二 有约束条件的平抛运动模型 模型1 对着竖直墙壁平抛 如图6所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 图6 例2 如图7所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53角，飞镖B与竖直墙壁成37角，两者相距为d.假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离．sin 37＝0.6，cos 37＝0.8 图7 答案 解析 由题意可知，飞镖A、B从同一点做平抛运动，其落点速度方向的反向延长线的交点C为水平位移的中点，如图所示， 设飞镖的水平位移为x，根据几何关系得 yA＝tan 37＝，yB＝tan 53＝ 又已知yB－yA＝d 解得x＝，即射出点离墙壁的水平距离为. 变式4 多选从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图8所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸不计空气阻力 图8 A．初速度之比是∶∶ B．初速度之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 答案 AC 解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；
由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误． 模型2 斜面上的平抛问题 1．顺着斜面平抛如图9 图9 方法分解位移． x＝v0t， y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝. 2．对着斜面平抛如图10 图10 方法分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 例3 多选如图11所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；
今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点Q处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是 图11 A．va＝2vb B．va＝vb C．ta＝2tb D．ta＝tb 答案 BD 解析 b球落在斜面的中点，知a、b两球下降的高度之比为2∶1，根据h＝gt2知，t＝，则时间之比为＝，即ta＝tb.因为a、b两球水平位移之比为2∶1，则由x＝v0t，得va＝vb，故B、D正确，A、C错误． 变式5 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特点建造的一个特殊跳台．一名运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得一定的速度后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图12所示．已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡看成倾角为37的斜面，不考虑空气阻力，则运动员g取10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8 图12 A．在空中飞行的时间为4 s B．在空中飞行的时间为3 s C．在空中飞行的平均速度为20 m/s D．在空中飞行的平均速度为50 m/s 答案 B 解析 A、B间距离就是整个平抛过程中运动员的位移，则有水平方向x＝v0t，竖直方向h＝gt2，两式结合有tan 37＝＝＝，解得t＝3 s，选项A错误，B正确；
平均速度＝＝＝25 m/s，选项C、D错误． 变式6 如图13所示，以10 m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为30的斜面上，则物体在空中飞行的时间是g取10 m/s2 图13 A. s B. s C. s D．2 s 答案 C 解析 速度分解图如图所示，由几何关系可知vy＝＝10 m/s，由vy＝gt，得t＝ s. 命题点三 平抛运动的临界问题 1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到临界的条件． 2．确立临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，还可以使一些隐藏于问题深处的条件暴露出来． 例4 如图14所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出， 要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是 图14 A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s 答案 B 解析 小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大．此时有L＝vmaxt1，h＝gt12 代入数据解得vmax＝7 m/s 小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小， 则有L＋d＝vmint2，H＋h＝gt22， 代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是 3 m/s＜v＜7 m/