第三十六讲 直接证明与间接证明 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内． 1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明“cos4θ－sin4θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了 A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 故选B. 答案B 2．已知x10，x1≠1且xn＋1＝n＝1,2，，试证“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xnxn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为 A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn≤xn＋1 C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1 D．存在正整数n，使xn－xn－1xn－xn＋1≥0 解析根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xnxn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B. 答案B 3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．a2－1b2－1≥0 解析因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔a2－1b2－1≥0，故选D. 答案D 4．已知a、b是非零实数，且ab，则下列不等式中成立的是 A.b2 C．|a＋b||a－b| D. 解析b，∴a－b0.而a可能大于0，也可能小于0， 因此aa－b0不一定成立，即A不一定成立；
a2b2⇔a－ba＋b0， ∵a－b0，只有当a＋b0时，a2b2才成立，故B不一定成立；
|a＋b||a－b|⇔a＋b2a－b2⇔ab0，而ab⇔0⇔a－ba2b20. ∵a，b非零，ab，∴上式一定成立，因此只有D正确．故选D. 答案D 5．2020杭州市模拟已知函数fx＝x，a，b∈0，＋∞，A＝f，B＝f，C＝f，则A、B、C的大小关系为 A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析因为当a，b∈0，＋∞时，≥≥，且函数fx＝x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A. 答案A 6．设0. ∵1＋x1－x＝1－x2a＋b⇔－2＋0⇔a≥0，b≥0且a≠b. 答案a≥0，b≥0且a≠b 三、解答题本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤． 11．已知a，b，c是不等正数，且abc＝1. 求证＋＋0，a＋b＝1. 求证 ＋≤2. 证明要证 ＋≤2. 只要证a＋＋b＋＋2≤4， ∵由已知知a＋b＝1， 故只要证 ≤1， 只要证a＋b＋≤1， 只要证ab≤， ∵a0，b0,1＝a＋b≥2，∴ab≤， 故原不等式成立． 13．精选考题浦东模拟△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边．求证＋＝. 解要证明＋＝，只需证明＋＝3，只需证明＋＝1，只需证明cb＋c＋aa＋b＝a＋bb＋c，只需证明c2＋a2＝ac＋b2. ∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60， 则余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60，即b2＝c2＋a2－ac， ∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命题成立，得证．