课 题函数应用举例1 教学目的 1．了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型；
2．掌握根据已知条件建立函数关系式；
3.培养学生的数学应用意识. 教学重点根据已知条件建立函数关系式 教学难点数学建模意识. 授课类型新授课 课时安排1课时 教 具多媒体、实物投影仪 教学过程 一、复习引入 1．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动． 在我们考察不同的预测方法之前，必须指出预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％． 2．指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a1 图 象 性 质 定义域（0，∞） 值域R 过点（1，0），即当时， 时 时 时 时 在（0，∞）上是增函数 在（0，∞）上是减函数 二、新授内容 数学模型与数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 三、讲解范例 例1 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 ⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数, ，中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值． ⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常 分析根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数来近似反映．根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似反映 图 1 图 2 解⑴将已知数据输入计算机，画出图1；
根据图1，选择函数进行拟合． 如果保留两位小数可得 a2，b1.02 所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为 将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象图 2，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系． ⑵将x175代人得 计算得 y63.98， 由于 ， 所以，这个男生体重偏胖． 注①例1是实际应用问题．解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义做出回答．这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形． ②给出另两个函数的拟合结果 小结1函数拟合与预测的步骤 在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤 ⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图． ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 例2 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由 讲解根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式 设为常数，且， ， 根据已知，得及 解得 显然更接近于1.37，故选用作为模拟函数较好 注确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键 例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域. 分析所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用. 解如图，设AB2x，则CD弧长πx,于是AD 因此y2x, 即y- 再由 解之得0＜x＜ 即函数式是y-mx 定义域是（0，） 小结2（1）数学应用题的能力要求 ①阅读理解能力；
②抽象概括能力；
③数学语言的运用能力；
④分析、解决数学问题的能力；
（2）解答应用题的基本步骤 ①合理、恰当假设；
②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；
③分析、解决数学问题；
④数学问题的解向实际问题的还原. 例4 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域. 分析要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式. 解如图所示，AB2R，C、D在⊙O的半圆周上 设腰长ADBCx，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角， 由此Rt△ADE∽Rt△ABD. ∴AD2AEAB，即AE ∴CDAB-2AE2R- 所以，y2R2x2R-,即y-2x4R 再由 ∴周长y与腰长x的函数式为y- 2x4R,定义域为（0， R） 评述例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形. 四、练习 1．中国人口问题 “人口问题”是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础．由人口统计年鉴，可查得我国从1949年到1994年人口数据资料如下 年 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1989 1994 人口百万 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1106.76 1176.74 试估计我国2010年的人口数． 2．销售额问题 某县乡镇企业局，要求预测1990年～1991年轻工产品人均销售额，根据初步分析，人均销售额yt和人均国民收人xt的数据如下表所示，1990年及1991年人均国民收入计划值分别为514．1元/人、 550．l元／人． 年份 人均销售额yt元/人 人均国民收入xt元/人 年份 人均销售额yt元/人 人均国民收入xt元/人 1965 0.35 116 1978 0.78 197 1966 0.37 137 1979 0.94 226 1967 0.52 142 1980 1.00 238 1968 0.67 156 1981 1.05 258 1969 0.60 123 1982 1.10 254 1970 0.57 115 1983 1.18 269 1970 0.53 128 1984 1.22 270 1972 0.59 136 1985 1.36 188 1973 0.50 162 1986 1.45 348 1974 0.56 186 1987 1.61 422 1975 0.63 162 1988 1.86 448 1976 0.66 163 1989 2.11 485 1977 0.77 173 五、小结 通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步掌握解决实际问题的能力. 六、课后作业 课本P88练习 1.将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为d，截面的面积为A，求面积A以x为自变量的函数式，并写出它的定义域. 解如图，截面的一条边为x，对角线ACd,另一条边BC,所以Sx,定义域为{x|0＜x＜d 2.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式，并讨论这个函数的定义域. 解∵底面边长为a-2x,∴底面积为a-2x 又长方体高为x,∴长方体体积Vxa-2x 由a-2x＞0,得x＜ 又x＞0,∴函数定义域为{x|0＜x＜ 课本P89习题2.9 1.建筑一个容积为8000 m3，深为6 m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/m2,池底的造价为2a元/m2,把总造价y元表示为底的一边长为xm的函数. 解设底面的另一边长为zm，则根据题意有6xz8000,z 池壁造价为a2x2z612ax 池底造价为2aa 所以，总造价y［12axa］元 2.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45，水深h m，求横断面中有水面积A（m2）与水深hm的函数关系式 解如图，作AC⊥CE，BD⊥CE， ∴Rt△BDE面积h，矩形面积2h ∴AS矩22h2hh2hm 七、板书设计（略） 八、课后记 - 7 -