第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵 1 ; 2 ; 3 ; 4 . 解 1 2 3 4 2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式有没有等于0的阶 子式 解 在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等 于0的阶子式. 例如， 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式. 3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样 解 设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得 到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于， 故而. 4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是, 解 设为五维向量,且, ,则所求方阵可为秩为4,不妨设 取 故满足条件的一个方阵为 5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式 1 ; 2 ；
3 . 解 1 二阶子式． 2 . 二阶子式． 3 秩为3 三阶子式． 6．求解下列齐次线性方程组 1 2 3 4 解 1 对系数矩阵实施行变换 即得 故方程组的解为 2 对系数矩阵实施行变换 即得 故方程组的解为 3 对系数矩阵实施行变换 即得 故方程组的解为 4 对系数矩阵实施行变换 即得 故方程组的解为 7．求解下列非齐次线性方程组 1 2 3 4 解 1 对系数的增广矩阵施行行变换,有 而,故方程组无解． 2 对系数的增广矩阵施行行变换 即得亦即 3 对系数的增广矩阵施行行变换 即得 即 4 对系数的增广矩阵施行行变换 即得 即 8．取何值时,非齐次线性方程组 1有唯一解；
2无解；
3有无穷多个解 解 1 ,即时方程组有唯一解. 2 由 得时,方程组无解. 3 ,由, 得时,方程组有无穷多个解. 9．非齐次线性方程组 当取何值时有解并求出它的解． 解 方程组有解，须得 当时,方程组解为 当时,方程组解为 10．设 问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解并在有无穷多解 时求解． 解 当,即 且时，有唯一解. 当且，即时，无解. 当且，即时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为 原方程组的解为 11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵 1 ; 2 . 解 （1） 故逆矩阵为 2 故逆矩阵为 12．1 设,求使; 2 设,求使. 解 1 2 ． 12