2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分） 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则 A．B． C．D． 2．复数的虚部为 A．B．C．2D．-2 3．已知向量，且，那么的值为 A． B． C． D． 4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A．6B．10C．91D．92 5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，得到函数，那么的值为 A．B．C．D． 6．函数fx在[π，π]的图像大致为 A．B． C．D． 7．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为 A．B．C．D． 8．，则的大小关系为 A．B．C．D． 9．设函数，下述四个结论 ①是偶函数；
②的最小正周期为；
③的最小值为0；
④在上有3个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②B．①②③C．①③④D．②③④ 10．四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为 A．B．C．D． 11．已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为 A．B．C．4D．4 12．在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是 A．B．C．D． 第II卷 非选择题（90分） 2、 填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______. 14．已知集合，，若，则实数的取值范围是____． 15．2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 16．已知数列满足， ,则数列中最大项的值是__________． 3、 解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题共60分。
17．（12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示 （Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好 （Ⅱ）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；
（III）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望. 18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，设. （Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长为8，求的面积的取值范围. 19．（12分）如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直. （Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值. 20．（12分）已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为. （Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证的面积为定值，并求出该定值. 21．（12分）已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）. （Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证；
（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围． （二）选考题共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4坐标系与参数方程]（10分） 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值. 23．[选修4-5不等式选讲]（10分） 已知函数. （Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若正数，，满足，求的最小值. 2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试 理科数学参考答案 1．C2．D3．C4．B5．B6．D7．D8．D9．B10．A11．B12．B 13．614．15．14416． 17．解（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 （2）乙频率分布直方图如下图所示 （3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则的取值为0，1，2 ；
；
所以的分布列为 0 1 2 18．（1）且， 又， （2）由题意知 ， 或（舍）（当时取“”） 综上，的面积的取值范围为 19.（1）如图所示 分别取，的中点，，连结，，， 则，， 平面与平面都与平面垂直，平面，平面， 由线面垂直的性质定理得， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面． （2）如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量， 设平面的法向量， 则，取，得． 设二面角的平面角为，由图知为钝角， ．∴二面角的余弦值为，则正弦值为． 20．解（Ⅰ）设， 因为点的坐标为，所以直线的斜率为 同理，直线的斜率为由题设条件可得，. 化简整理得，顶点的轨迹的方程为. （Ⅱ）设，，， 因为为的重心，所以，所以，， 由得， ，，，，∴，又点在椭圆上，所以，∴， 因为为的重心，所以是的倍， ，原点到直线的距离为， .所以，所以，的面积为定值，该定值为. 21解（1）（）， 所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故． （2），， 设，则， 易知在上是减函数，从而． ①当，即时，，在区间上是增函数， ∵，∴在上恒成立，即在上恒成立． ∴在区间上是减函数，所以满足题意． ②当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减， 又∵，∴，又∵， ∴在内有唯一一个零点，当时，，当时，. 从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾. ∴不合题意．综上①②得，． 22．解（1）曲线的直角坐标方程为，将极坐标与直角坐标的互化公式代入， 可得曲线的极坐标方程为.联立与，得 ∴曲线与公共弦所在直线的极坐标方程,（或和） （2）把，代入，，得；
又，则2，可得所以， 23．解（1）化简得. ①当时，，由，即，解得，又，所以；
②当时，，由，即， 解得，又，所以；
③当时，不满足，此时不等式无解；
综上，不等式的解集为. （2）由于，故， ∴， ∵，∴由柯西不等式 上式 . 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.