23个典型的数列专题

23 个典型的数列专题 tobeenough 23 个典型的数列专题 tobeenough 第 1 页 第 1 页 23 个典型的数列专题 修正版 23 个典型的数列专题 修正版 tobeenough tobeenough 数列的重要公式 数列的重要公式 1 等差数列通项 1 等差数列通项 n1n1 aan1 daan1 d 2 等差数列求和 2 等差数列求和 1n1n n n aa naa n S S 2 2 3 等比数列通项 3 等比数列通项 n 1n 1 n1n1 aa qaa q 4 等比数列求和 4 等比数列求和 n n n1n1 1q1q SaSa 1q1q 5 求和与通项的关系 5 求和与通项的关系 n 1n 1nn 1n 1n aSSaSS 例 1例 1 等差数列 等差数列 n n a a中 前三项依次为中 前三项依次为 1 1 x1x1 5 5 6x6x 1 1 x x 求 求 105105 a a 例 2例 2 前 前100100个自然数 个自然数 1 1到到100100 中 除以 中 除以7 7余余2 2的所有数之和的所有数之和S S 例 3例 3 在等差数列 在等差数列 n n a a中 前中 前n n项和为项和为 n n S S 若 若 1 1 a0a0 1616 S0S0 1717 S0S0 则 则 n n S S最大时 最大时 n n 例 4例 4 数列 数列 n n a a的通项公式的通项公式 n n 1 1 a a n1nn1n 若它的前 若它的前n n项和项和 n n S9S9 求 求 n n 例 5例 5 等差数列 等差数列 n n a a 其公差 其公差d0d0 其中 其中 2 2 a a 3 3 a a 6 6 a a依次构成等比数列 求公比依次构成等比数列 求公比q q 例 6例 6 已知等差数列 已知等差数列 n n a a的前的前n n项和项和 n n S S 且 且 1 1 a1a1 1111 S33S33 设 设 n n a a n n 1 1 b b 2 2 求证 求证 n n b b 是等比数列 并求其前是等比数列 并求其前n n项和项和 n n T T 例 7例 7 若 若xyxy 且两个数列 且两个数列 1212 x a ayx a ay 和和 123123 x b b byx b b by 均为等差数列 求 均为等差数列 求 1 1 3 3 axax ybyb 例 8例 8 已知正项数列 已知正项数列 n n a a的前的前n n项和项和 n n S S满足 满足 2 2 nnnnnn 10Sa5a610Sa5a6 且 且 1 1 a a 3 3 a a 1515 a a成成 等比数列 求数列等比数列 求数列 n n a a的通项的通项 n n a a 例 9例 9 已知数列 已知数列 n n a a的前的前n n项和项和 n n 1 1 Sn n1 n2Sn n1 n2 3 3 试求数列 试求数列 n n 1 1 a a 的前的前n n项和项和 n n T T 例 10例 10 已知数列 已知数列 n n a a的前的前n n项和为项和为 n n S S 其首项 其首项 1 1 a1a1 且满足 且满足 nnnn 3Sn2 a3Sn2 a 求通项 求通项 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题 tobeenoughtobeenough 第第 2 2 页页 n a 例例 1111 如果数列 如果数列 n a中中 相邻两项相邻两项 n a和和 n 1 a 是二次方程是二次方程 2 nnn x3nxc0 n1 2 3 的两个根的两个根 当当 1 a2 时时 试求试求 100 c 例例 1212 有两个无穷的等比数列 有两个无穷的等比数列 n a和和 n b 其公比的绝对值都小于其公比的绝对值都小于1 其各项和分别是其各项和分别是 nk k 1 Sa1 和和 nk k 1 Tb2 对一切自然数都有 对一切自然数都有 2 nn ab 求这两个数列的首 求这两个数列的首 项和公比项和公比 例例 1313 已知数列 已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S 1 1 a 2 当 当n2 时 满足 时 满足 nnn 1 a2S S0 求证 数列求证 数列 n 1 S 为等差数列 并求为等差数列 并求 n S的通项公式的通项公式 n S 例例 1414 已知等比数列 已知等比数列 n a的首项的首项 1 1 a 2 且满足 且满足 1010 302010 2S21 SS0 1 1 求 求 n a的通项 的通项 2 2 求 求 n nS的前的前n项和项和 n T 例例 1515 若等差数列 若等差数列 2n xlog的第的第m项等于项等于k 第 第k项等于项等于m 其中其中mk 求数列 求数列 n x 的前的前mk 项的和项的和 例例 1616 如果数列 如果数列 n a中中 1 5 a 6 n 1 n 1n 11 aa 32 求通项 求通项 n a 例例 1717 设数列 设数列 n a 1 a4 且当 且当n2 时满足 时满足 nn 1 a3a2n1 求通项 求通项 n a 例例 1818 设数列 设数列 n a 1 a1 2 a2 且满足 且满足 n 2n 1n a3a2a nN 求通项 求通项 n a 例例 1919 已知正项数列 已知正项数列 n a 1 a1 且满足 且满足 n 1nn 1 aa4a 2 求通项 求通项 n a 例例 2020 已知数列 已知数列 n a中 中 1 a2 且满足 且满足 n n 1 n 2a1 a 4a6 nN 求通项 求通项 n a 例例 2121 已知数列 已知数列 n a中 中 1 a3 且满足 且满足 n n 1 n 4a2 a a1 求通项 求通项 n a 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题 tobeenoughtobeenough 第第 3 3 页页 例例 2222 已知数列 已知数列 n a中 中 1 a5 且满足 且满足 n n 1 n 2a3 a a 求通项 求通项 n a 例例 2323 已知数列 已知数列 n a中 中 1 a4 且满足 且满足 2 n n 1 n a a 2 a1 n n n a2 b a 求通项 求通项 n b 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题 修正版修正版 解答解答 tobeenoughtobeenough 例例 1 1 等差数列 等差数列 n a中 前三项依次为中 前三项依次为 1 x1 5 6x 1 x 求 求 105 a 解析解析 由等差数列由等差数列中项公式中项公式得 得 nn kn k 2aaa 即 即 511 2 6xxx1 即即 511 3xxx1 即 即 21 3xx1 即 即 23 xx1 则 则 x2 故故首项为 首项为 1 11 a x13 公差为 公差为 1511 d x6x6x12 则则数列通项数列通项为 为 n1 1n1n3 aan1 d 31212 故 故 105 1053 a9 12 求求等差数列等差数列通项通项公式就可以通解公式就可以通解 例例 2 2 前 前100个自然数 个自然数 1到到100 中 除以 中 除以7余余2的所有数之和的所有数之和S 解析解析 由题意由题意 这是一个首项为 这是一个首项为 1 a2 公差为 公差为d7 的等差数列的等差数列 故 故 这些数构这些数构成的数列为 成的数列为 n a27 n17n5 在在100之内 之内 设设n的最大数的最大数m 则 则 1007m5 即 即 m15 这些数之和这些数之和S为 为 115 aa15210015 S765 22 余数是常数的问余数是常数的问题要转化为等差数列问题题要转化为等差数列问题 例例 3 3 在等差数列 在等差数列 n a中 前中 前n项和为项和为 n S 若若 1 a0 16 S0 17 S0 则 则 n S最大时 最大时 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题 tobeenoughtobeenough 第第 4 4 页页 n 解解析析 等差数列通项等差数列通项为 为 n1 aan1 d 其其求和公式求和公式为 为 1n n1 aann n1 Snad 22 则则依题意依题意 16 S0 即 即 161 1615 S16ad0 2 即 即 1 15 ad0 2 由由 1 d a7d0 2 即 即 8 d a0 2 即 即 8 d a 2 由由 1 d a8d0 2 即 即 9 d a 2 以及 以及 17 S0 即 即 171 1716 S17ad0 2 即 即 1 a8d0 即 即 9 a0 由由 得 得 9 d a0 2 即 即 d0 将将 代入代入 得 得 8 d a0 2 故故由由 知 知 n S求和累加时 加到求和累加时 加到 8 a时时 n S在增加在增加 加到加到 9 a时时 n S开始减小 则开始减小 则最最 大时 大时 n8 通项公式和求和公式都要很熟啊通项公式和求和公式都要很熟啊 例例 4 4 数列 数列 n a的通项公式的通项公式 n 1 a n1n 若它的前 若它的前n项和项和 n S9 求 求 n 解析解析 数列数列通项通项 n 1 an1n n1n 则 则 n n k 1 Sk1kn119 即 即 n110 即 即 n1100 于是 于是 n99 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题 tobeenoughtobeenough 第第 5 5 页页 本法本法相当于裂项法相当于裂项法 例例 5 5 等差数列 等差数列 n a 其公差 其公差d0 其中 其中 2 a 3 a 6 a依次构成等比数列 求公比依次构成等比数列 求公比q 解析解析 由由等差数列通项等差数列通项 n1 aan1 d 得得 32 aad 62 aa4d 因为因为 2 a 3 a 6 a依次依次构成构成等比数列等比数列 3 a是是比例中项比例中项 则则由由比例中项公式比例中项公式得得 2 326 aa a 即 即 2 222 ada a4d 即即 222 2222 a2a dda4a d 即 即 2 2 d2a d 因为因为d0 故 故上式得上式得 2 d2a 所以所以公比公比q 322 222 aad3a q3 aaa 由比例中项直接列式 导出由比例中项直接列式 导出d与与 2 a的关系的关系 例例 6 6 已知等差数列 已知等差数列 n a的前的前n项和项和 n S 且 且 1 a1 11 S33 设设 n a n 1 b 2 求证 求证 n b是等比数列 并求其前是等比数列 并求其前n项和项和 n T 证明证明 等差数列等差数列通项 通项 n1 aan1 d 求和公式 求和公式 n1 n n1 Snad 2 则 则 11 11 10 S11d33 2 即 即 1155d33 故 故 2 d 5 于是于是 将 将 1 a1 2 d 5 带入带入通项公式通项公式得 得 n 22n3 a1n1 55 则 则 n 2n 3 a 5 n 11 b 22 n 1 2 n 13 a 5 n 1 11 b 22 故故 2 n 132n 32 555 n 1 n b11 q b22 当当n1 时 数列首项时 数列首项 1 a 1 11 b 22 故故 n b是首项为是首项为 1 1 b 2 公比为 公比为 2 5 1 q 2 的等比数列 的等比数列 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题 tobeenoughtobeenough 第第 6 6 页页 其其通项为 通项为 2n 3 5 n 1 b 2 证毕证毕 其求和公式其求和公式 2n 5 n n12n 5 1 1 1q112 Tb1 1 1q2 1 2 2 例例 7 7 若 若xy 且两个数列 且两个数列 12 x a ay 和和 123 x b b by 均为等差数列 求 均为等差数列 求 1 3 ax yb 解析解析 设两个等差数列的设两个等差数列的公差公差分别为 分别为 1 d和和 2 d