第6课时 二次函数的综合应用 命题点 1 二次函数实际应用 1. 2018巴中一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 A. 此抛物线的解析式是y＝－x2＋3.5 B. 篮圈中心的坐标是4，3.05 C.此抛物线的顶点坐标是3.5，0 D.篮球出手时离地面的高度是2 m 第1题图 2. 2018安徽小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现 ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变；
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2单位元． 1用含x的代数式表示W1，W2；
2当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少 3. 2018巴彦淖尔改编工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，如图所示，需要将四角各裁掉一个正方形．厚度不计 1若长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少 2若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍长大于宽，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元 第3题图 命题点 2 二次函数与几何图形综合题 4. 2018自贡如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A1，0，B－3，0，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点Pm，n是线段AD上的动点． 1求直线AD及抛物线的解析式；
2过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长 3在平面内是否存在整点横、纵坐标都为整数R，使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点R的坐标；
若不存在，说明理由． 第4题图 5. 2018怀化如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A－1，0，B3，0两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． 1求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
2请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
3试探究在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由． 6. 2018锦州在平面直角坐标系中，直线y＝x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上． 1求二次函数的表达式；
2如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
3如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍若存在，直接写出点D的横坐标；
若不存在，请说明理由． 第6题图 7. 2018十堰已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A－2，0，B0，－4，与x轴交于另一点C，连接BC. 1求抛物线的解析式；
2如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求证AP∥BC；
3在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E, 使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似不重合若存在，请求出点D的坐标；
若不存在，请说明理由． 答案 1. A 2. 1W1＝－2x2＋60 x＋8000， W2＝－19x＋950; 2当x＝10时，总利润W最大，最大总利润是9160元． 3. 1裁掉的正方形边长为2分米；
2当裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低为31元． 4. 1直线AD的解析式为y＝x－1，抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；
2∵Pm，n在线段AD上， ∴点P的坐标为m，m－1， ∴点Q的坐标为m，m2＋2m－3， ∴l＝m－1－m2＋2m－3＝－m2－m＋2＝－m＋2＋－2m1， ∵－10，∴当m＝－时，l有最大值，最大值为 ；
3存在，点R的坐标为－2，－2或－2，－4或－2，－1或－2，－5或0，－3或2，－1． 5. 1抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3， 直线AC的解析式为y＝3x＋3；
2∵y＝－x2＋2x＋3＝－x－12＋4， ∴顶点D1，4， ∴点D关于y轴的对称点E的坐标为－1，4， 如解图①，连接BE与y轴交于点M，此时△BDM的周长最小， 设直线BE的解析式为y＝mx＋nm≠0，将点B3，0，E－1，4代入得 ，解得， ∴直线BE的解析式为y＝－x＋3， 当x＝0时，y＝3， ∴点M的坐标为0，3，此时点M与点C重合；
第5题解图① 3在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形． ①如解图②，当点A为直角顶点时，设直线AP与y轴的交点为Q，则∠AOQ＝∠CAQ＝90， ∴∠AQO＋∠OAQ＝∠AQC＋∠ACQ， ∴∠QAO＝∠ACO， ∴△AOQ∽△COA， ∴＝，即＝， ∴OQ＝， ∴Q0，－， 易求得直线AQ的解析式为y＝－x－， 联立， 解得与点A重合，舍去，， ∴点P的坐标为，－；
第5题解图② 第5题解图③ ②如解图③，当点C为直角顶点时，过点P作PK⊥y轴于点K， ∴∠PCK＋∠ACO＝∠ACO＋∠CAO， ∴∠PCK＝∠CAO， 又∵∠PKC＝∠COA， ∴△PCK∽△CAO， ∴＝， 设Pt，－t2＋2t＋3，则PK＝t， CK＝3－－t2＋2t＋3＝t2－2t， ∴＝， 解得t1＝0为点C的横坐标，舍去或t2＝， ∴点P的坐标为，；
综上，在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形，点P的坐标为，－或，． 6. 1二次函数的表达式为y＝x2－x－2；
2S的最大值为4；
3存在，满足条件的点D的横坐标为2或. 7. 1抛物线的解析式为y＝x2－x－4；
2证明令y＝0，则x2－x－4＝0， 解得x1＝－2，x2＝4，∴C4，0， 设Px，x2－x－4，则S△PBO＝OBxP＝4x＝2x， S四边形POBC＝ S△BOC＋ S△POC ＝OBOC＋OCyP ＝44＋4x2－x－4 ＝8＋x2－2x－8 ＝x2－2x， ∵S△PBO ＝S△PBC， ∴S四边形POBC ＝ 2S△PBO， ∴x2－2x＝4x， 解得x1＝0舍去，x2＝6， ∴P6，8， 如解图，过P作PM⊥x轴于点M， 则OM＝6，PM＝8，AM＝8， ∵tan∠PAC＝＝＝1， tan∠BCO＝＝＝1， ∴∠PAC＝∠BCO＝45， ∴AP∥BC；
第7题解图 3存在． 由题意易得，当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形△ABC和△BCE. 由勾股定理得AB＝＝2， ①当点E在线段AC上时，∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC， ∴∠ABE＝∠ACB＝45， ∴△ABE∽△ACB，则＝， ∴＝， ∴AE＝， ∴E，0， ∴直线BE的解析式为y＝3x－4， 联立， 解得或舍去， ∴D18，20；
②当点E在点A的左边时，∵∠BEA＝∠BEC，∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，则＝， 设OE＝a，则AE＝a－2，BE＝，CE＝a＋4， ∴＝， 解得a＝12， ∴E－12，0， ∴直线BE的解析式为y＝－x－4. 联立，解得或舍去，∴D2，－；
③当点E在点C的右边时，△BCE为钝角三角形，△ABE为锐角三角形，故不可能相似， 当△ABE∽△ACB时，点E的坐标为，0，不符合题意， 综上所述，点D的坐标为8，20或，－．