等腰三角形 一、选择题 1．（2016山东烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ） A．40B．70C．70或80D．80或140 【考点】角的计算． 【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数∠DOB2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题． 【解答】解如图，点O是AB中点，连接DO． ∵点D在量角器上对应的度数∠DOB2∠BCD， ∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时， ∠BCD40或70， ∴点D在量角器上对应的度数∠DOB2∠BCD80或140， 故选D． 2．（2016山东枣庄）如图，在△ABC中，ABAC，∠A30，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于 A．15 B．17. 5 C．20 D．22.5 第4题图 【答案】A. 【解析】 试题分析在△ABC中，ABAC，∠A30，根据等腰三角形的性质可得∠ABC∠ACB75，所以∠ACE180-∠ACB180-75105，根据角平分线的性质可得∠DBC37.5，∠ACD52.5，即可得∠BCD127.5，根据三角形的内角和定理可得∠D180-∠DBC-∠BCD180-37.5-127.515，故答案选A. 考点等腰三角形的性质；
三角形的内角和定理. 3．（2016.山东省泰安市，3分）如图，在△PAB中，PAPB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AMBK，BNAK，若∠MKN44，则∠P的度数为（ ） A．44B．66C．88D．92 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A∠MKN44，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解∵PAPB， ∴∠A∠B， 在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK∠BKN， ∵∠MKB∠MKN∠NKB∠A∠AMK， ∴∠A∠MKN44， ∴∠P180﹣∠A﹣∠B92， 故选D． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键． 4．（2016江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ） A．6B．3C．2.5D．2 【考点】几何问题的最值． 【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小 【解答】解如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形， 作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形， 在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小46﹣44﹣36﹣332.5． 故选C． 二、填空题 1.（2016湖北黄冈）如图，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB2，BC1. 连接AI，交FG于点Q，则QI_____________. A D F H Q B C E G I （第14题） 【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质. 【分析】过点A作AM⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得到MCBC，从而MIMCCEEGGI.再根据勾股定理，计算出AM和AI的值；
根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC∥GQ，则△IAC∽△IQG，故，可计算出QI. A D F H Q B M C E G I 【解答】解过点A作AM⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得 MCBC. ∴MIMCCEEGGI. 在Rt△AMC中，AM2AC2-MC2 22-（）2. AI4. 易证AC∥GQ，则△IAC∽△IQG ∴ 即 ∴QI. 故答案为. 2. 2016四川资阳如图，在33的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ． 【考点】概率公式；
等腰三角形的判定． 【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【解答】解根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）；
故答案为． 3. （2016四川成都4分）如图，在矩形ABCD中，AB3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 3 ． 【考点】矩形的性质；
线段垂直平分线的性质；
等边三角形的判定与性质． 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OAABOB3，得出BD2OB6，由勾股定理求出AD即可． 【解答】解∵四边形ABCD是矩形， ∴OBOD，OAOC，ACBD， ∴OAOB， ∵AE垂直平分OB， ∴ABAO， ∴OAABOB3， ∴BD2OB6， ∴AD3；
故答案为3． 4. （2016四川达州3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ．若PA6，PB8，PC10，则四边形APBQ的面积为 249 ． 【考点】旋转的性质；
等边三角形的性质． 【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC60，ABAC，再根据旋转的性质得APPQ6，∠PAQ60，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQAP6，接着证明△APC≌△ABQ得到PCQB10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQS△BPQS△APQ进行计算． 【解答】解连结PQ，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC60，ABAC， ∵线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ， ∴APPQ6，∠PAQ60， ∴△APQ为等边三角形， ∴PQAP6， ∵∠CAP∠BAP60，∠BAP∠BAQ60， ∴∠CAP∠BAQ， 在△APC和△ABQ中， ， ∴△APC≌△ABQ， ∴PCQB10， 在△BPQ中，∵PB28264，PQ262，BQ2102， 而6436100， ∴PB2PQ2BQ2， ∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ90， ∴S四边形APBQS△BPQS△APQ6862249． 故答案为249． 5. （2016江苏淮安，16，3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ． 【考点】等腰三角形的性质；
三角形三边关系． 【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长． 【解答】解因为22＜4， 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长44210， 答它的周长是10， 故答案为10 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可． 6.（2016广东广州）如图，中，,点在上，,将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，则的周长是 cm. ［难易］ 容易 ［考点］ 平移 ，等腰三角形等角对等边 ［解析］ ∵CD沿CB平移7cm至EF ［参考答案］ 13 7.（2016广西贺州）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为 120 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；
等边三角形的性质． 【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH∠DCH60即可解决问题． 【解答】解如图AC与BD交于点H． ∵△ACD，△BCE都是等边三角形， ∴CDCA，CBCE，∠ACD∠BCE60， ∴∠DCB∠ACE， 在△DCB和△ACE中， ， ∴△DCB≌△ACE， ∴∠CAE∠CDB， ∵∠DCH∠CHD∠BDC180，∠AOH∠AHO∠CAE180，∠DHC∠OHA， ∴∠AOH∠DCH60， ∴∠AOB180﹣∠AOH120． 故答案为120 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型． 8．（2016山东烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ． 【考点】勾股定理；
实数与数轴；
等腰三角形的性质． 【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC，然后利用画法可得到OMOC，于是可确定点M对应的数． 【解答】解∵△ABC为等腰三角形，OAOB3， ∴OC⊥AB， 在Rt△OBC中，OC， ∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M， ∴OMOC， ∴点M对应的数为． 故答案为． 9．（2016.山东省青岛市,3分）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 448﹣480 cm3． 【考点】剪纸问题． 【分析】由题意得出△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，得出∠A∠B∠C60，ABBCAC．∠POQ60，连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD∠OAK30，得出ODAD2cm，ADOD2cm，同理BEAD2cm，求出PQ、QM，无盖柱形盒子的容积底面积高，即可得出结果． 【解答】解如图，由题意得△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形， ∴∠A∠B∠C60，ABBCAC，∠POQ60， ∴∠ADO∠