四川省成都外国语学校2020届高三数学最后一卷试题 理（无答案） 满分150分，时间120分钟 第I卷（满分50分） 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若右图所示的集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2.已知是复数的虚数单位，若复数，则复数（ ） A. B. C. D. 正主视图 侧左视图 俯视图 3.在等差数列中，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直 角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） （A）（B） （C）（D） 5. 将编号为l、2、3、4的四个小球，放入编号为．1、2、3、4、5的五个盒子，一个盒子最多放入一个小球，若每个盒子的编号与放入的小球的编号之和为偶数，则放法种数为（ ） A . 4 B. 6 C. 8 D. 12 6．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ） A. B. C. D. 7．如图，质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为，那么点到轴距离关于时间的函数图象大致为（ ） 8.若函数是其定义域上的偶函数，则函数的图象不可能是 9．经过双曲线的右焦点作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若，则该双曲线的离心率是（ ） A.或 B. 或 C. D. 10．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（ ） A．（，2] B． C． D． 第Ⅱ卷（满分100分） 二、填空题本大题共5小题；
每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上 11． 二项式展开式中的常数项是 ． 12. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生. 13.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是________. 14.已知,则内切圆的圆心到直线的距离为_____. 15. 设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上，恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”.例如函数在任意正实数区间上都是凸函数.现给出如下命题 ①区间上的凸函数在其图象上任意一点处的切线的斜率随的增大而减小；
②若函数都是区间上的凸函数，则函数也是区间上的凸函数；
③若在区间上，恒成立，则都有 ④对满足的任意实数，若函数在区间上均为凸函数，则的最大值为. ⑤已知函数，则对任意实数，恒成立；
其中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号） 三、解答题本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16. 本小题满分12分 已知向量，，若函数的相邻两对称轴间的距离等于. （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中,分别是角所对的边，且，，且,求的面积. 17．（本小题满分12分） 2020年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施简称“国五条”.为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图如图，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表如下表 月收入百元 赞成人数 [15,25 8 [25,35 7 [35,45 10 [45,55 6 [55,65 2 [65,75 2 频率/组距 月收入/百元 （Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；
（Ⅱ）若从月收入单位百元在[15,25,[25,35的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 18．本小题满分12分 如图，在四棱锥中, 为上一点，平面.，，，，为上一点，且． （Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若二面角为， 求直线与平面所成角的大小． 19. （本小题满分12分） 已知各项为正数的数列的前项和为且满足 （Ⅰ）数列的通项; （Ⅱ）令，求数列的前项和. 20.（本小题满分13分） 已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）⊙是以为直径的圆，一直线与⊙相切，并与椭圆交于不同的两点．当，且满足时，求面积的取值范围． 21.（本小题满分14分） 设知函数（是自然对数的底数）． （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在定义域上不单调，求的取值范围；
（Ⅲ）设函数的两个极值点为和，记过点，的直线的斜率为，是否存在，使得若存在，求出的取值集合；
若不存在，请说明理由． 成都外国语学校高2020届考前适应性考试 数学试题理工类 参考答案第I卷 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D D A C C B B 8.提示因为偶函数，所以，①当时，选项A正确, ②当时，选项B正确, ③当时，选项D正确, 故选择C. 9.提示 易得选B 10.提示方法1. 易得在单调增，且 所以使得的的整数解不可能为正整数和零，只可能负整数， 所以分离参数得，作出与的图像易知只有两个整数解满足条件。进而选择B. 方法2.研究与 方法3.特殊值法 第Ⅱ卷 二、填空题本大题共5小题；
每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上 11. 15 12. 37 13. 14. 1 15. ①③⑤ 15提示①有凸函数的图像作切线变知正确，或者因为在区间上，恒成立 所以在区间单调减，所以结论成立；
②举反例说明如函数， 在区间都是凸函数，但是在区间不是凸函数；
③若在区间上，恒成立，所以函数在区间上为“凸函数”. 有图像知道成立；
④因为的两个零点为，所以在的最大值为9，即 ⑤由已知转化为，数形结合转化割线与切线的问题， 或者构造新函数,注意 因为而，所以，单调减，且,所以， 三、解答题本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16. 解（Ⅰ） 4分 . 5分 （Ⅱ） 又 而 6分 由 Cπ-AB，得sinCsinBAsinBcosAcosBsinA， ∵ sinCsinB-A3sin2A， ∴ sinBcosAcosBsinAsinBcosA-cosBsinA6sinAcosA， 整理得sinBcosA3sinAcosA． 8分 若cosA0，即A时，△ABC是直角三角形，且B， 于是bctanB2tan，∴ S△ABCbc． 10分 若cosA≠0，则sinB3sinA，由正弦定理得b3a．① 由余弦定理得② 联立①②，结合c2，解得，b， ∴ S△ABCabsinC． 综上，△ABC的面积为或．12分 17．解（Ⅰ）由直方图知 设中位数则，故 这60人的平均月收入约为百元. 4分 （Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道 [15,25的人数为人，其中1人不赞成． [25,35的人数为人，其中2人不赞成． 6分 的所有可能取值为． ，， ，． 的分布列为 ． 18．（Ⅰ）证明连接AC交BE于点M， 连接．由 ． ． 4分 ， ． 6分 （Ⅱ）连，过作于.由于，故. 过作于，连.则，即为二面角 的平面角. ． ， ．10分 ． 在中，， ，． 直线与平面所成角的大小为． 12分 解法二以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系． ，．7分 设平面的法向量，由 得． 又面法向量为． 由 ， 解得．10分 在中，， ，． 直线与平面所成角的大小为． 12分 解（Ⅰ）（ⅰ）当时，，所以 所以或者（舍去） ① （ⅱ）当时， ② 所以①-②得（） 分解因式得；
又 所以（） 故数列是以首相为2，公差为2的等差数列 所以；
（Ⅱ） . 20. （Ⅱ）∵圆与直线相切 由 ∵直线与椭圆交于两个不同点，设, 则 21.解（Ⅰ）的定义域为，并求导 ，得 （Ⅱ）的定义域为，并求导， 令，其判别式，由已知必有，即或；
①当时，的对称轴且，则当时，， 即，故在上单调递减，不合题意；
②当时，的对称轴且，则方程有两个不等和，且，， 当，时，；
当时，， 即在，上单调递减；
在上单调递增；
综上可知，的取值范围为；
（Ⅲ）假设存在满足条件的，由（1）知． 因为， 所以， 若，则，由（1）知，不妨设且有，则得， 即 （*） 设， 并记，， 则由（1）②知，在上单调递增，在上单调递减，且， 又，所以当时，；
当时，， 由方程（*）知，，故有， 又由（1）知，知（在上单调递增）， 又，因此的取值集合是．