2.7 弧长及扇形的面积 知|识|目|标 1．通过回顾弧与圆之间的“整体与局部”的关系，探索得出弧长公式，并能用弧长公式解决有关问题． 2．通过回顾扇面与圆面之间的“整体与局部”的关系，探索得出扇形面积公式，并能用扇形面积公式解决有关问题． 3．经过对扇形面积公式的理解，能利用扇形面积公式求不规则图形的面积． 目标一 能应用弧长公式解决有关问题 例1 教材例1变式如图2－7－1，△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D.若AC＝6，则的长为________． 图2－7－1 例2 教材补充例题已知一个扇形的弧长为10π cm，圆心角是150，则它的半径为 [全品导学号16052084] A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm 【归纳总结】在弧长的计算公式l＝中，已知l，n，R三个量中的任意两个，都可以求出第三个量． 目标二 能应用扇形面积公式解决有关问题 例3 教材补充例题如图2－7－2所示，⊙O的半径为2 cm，∠ABC＝45，求图中阴影部分的面积． 图2－7－2 【归纳总结】扇形面积的计算公式 S扇形＝πR2＝lR. 1已知半径和圆心角，用S扇形＝πR2；
2已知半径和弧长，用S扇形＝lR. 目标三 会求不规则图形的面积 例4 教材补充例题如图2－7－3，在△ABC中，∠ACB＝130，∠BAC＝20，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E. 图2－7－3 1求BD的长；
2求阴影部分的面积． 【归纳总结】不规则图形面积的求法 求圆中不规则图形的面积的基本思想是转化思想，一般思路是通过添加辅助线，将要求的不规则图形的面积转化为规则图形三角形、扇形等的面积的和或差，进而求解． 知识点一 弧、扇形的概念 圆上任意两点间的部分叫做____，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做______．弧是圆的一部分，扇面是圆面的一部分． 知识点二 弧长计算公式 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间的关系式为________． 在这个关系式中，当R为常数时，l是n的正比例函数；
当n为常数时，l是R的正比例函数． [点拨] 注意事项 1在计算时，n和180都不带单位“度”；
2没有特殊说明，结果保留π. 知识点三 扇形面积计算公式 在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与圆心角度数n之间的关系式为S扇形＝________． 根据扇形的弧长计算公式，可得扇形面积的另一个公式S扇形＝________． [点拨] 注意事项同上． 如图2－7－4所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2和1，∠AOB＝120，求阴影部分的面积． 解设阴影部分所在大扇形的面积为S1，小扇形的面积为S2，则S阴影＝S1－S2＝π22－π12＝π. 上述解答正确吗若不正确，请说明理由，并改正． 图2－7－4 详解详析 【目标突破】 例1 [答案] 2π [解析] 连接CD.∵∠ACB＝90，∠B＝30， ∴∠A＝60. 又∵CD＝AC， ∴∠CDA＝∠A＝60，∴∠ACD＝60， ∴的长＝＝2π. 例2 [解析] A 由弧长公式可得10π＝，解得r＝12 cm. 例3 解因为∠ABC＝45，所以∠AOC＝90. 利用扇形的面积公式，得 S阴影＝S扇形OAC＝＝πcm2． 例4 解1如图，过点C作CH⊥AB于点H. ∠B＝180－∠BAC－∠ACB＝180－20－130＝30.在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90，∠B＝30，BC＝4， ∴CH＝BC＝2，∴BH＝＝2 .∵CH⊥BD，∴DH＝BH， ∴BD＝2BH＝4 . 2如图，连接CD. ∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠B＝30， ∴∠BCD＝120，∴阴影部分的面积＝扇形CBD的面积－△CBD的面积＝－4 2＝π－4 . 备选例题 例 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于________． [答案] π [解析] 连接OD.⊙O的六条半径OA，OB，OC，OD，OE，OF把正六边形分成六个全等的等边三角形，由题意知阴影部分的面积为扇形OBD的面积，即圆面积的，所以阴影部分的面积为＝π. [归纳总结] 求阴影部分面积常用的方法有图形变换法、加减法、覆盖法、方程法、割补法、等积变换法等． 备选目标 求扇环的面积 例 在学习扇形的面积公式时，同学们推理得S扇形＝，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝lR.接着老师让同学们解决下面两个问题 问题1求弧长为4π，圆心角为120的扇形面积． 问题2某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知和所在圆的圆心都是点O，的长为l1，的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．小明类比梯形的面积公式，他猜想花坛的面积S＝l1＋l2d.他的猜想正确吗如果正确，请写出推导过程；
如果不正确，请说明理由． [解析] 扇环是由两个大小不等的扇形组成的，解决扇环的问题时要从扇形的面积公式入手． 解问题1由弧长公式，得＝4π，解得R＝6， ∴S扇形＝lR＝4π6＝12π. 问题2他的猜想正确．推导过程 ∵S扇形OAB＝，S扇形OCD＝， ∴S＝S扇形OAB－S扇形OCD＝OA2－OC2＝OA＋OCOA－OC＝OA＋OCd＝l1＋l2d. [归纳总结] 扇环的面积公式S扇环＝l1＋l2d，其中l1与l2分别为两个扇形的弧长，d为两扇形半径的差． 【总结反思】 [小结] 知识点一 弧 扇形 知识点二 l＝ 知识点三 lR [反思] 不正确．理由产生错误的原因是弄错了扇形的圆心角的度数，实际上，阴影部分所在的两个扇形的圆心角均为360－∠AOB＝360－120＝240. 正解设阴影部分所在大扇形的面积为S1，小扇形的面积为S2. ∵阴影部分所在的两个扇形的圆心角均为360－∠AOB＝360－120＝240， ∴S阴影＝S1－S2＝π22－π12＝2π. 6