湖南省益阳市第一中学2014届高三第十次月考 数学试题（理科） 时间120分钟，总分150分 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1．若复数是纯虚数，是虚数单位，则的值是 A． B． C． D． 2. 已知随机变量，且，则等于 A． B． C． D． 3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 4．设实数满足约束条件且的最小值为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是（ ） A． B． C． D． 6．正方体中，为侧面的中心，则与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数且恒过点，则的解的个数为（ ） A． B． C． D． 8．在中，，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的两个焦点为，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足其中为坐标原点，若、、成等比数列，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．给出下列命题 ① “，使得”的否定是“，使得”；
② 是向量的夹角为锐角的充要条件；
③ 设的内角的对边分别为，且满足， 则；
④ 记集合，定义映射，则从中任取一个映射满足“由点 构成且”的概率为． 以上命题正确的个数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上． （一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在极坐标系中，已知直线的极坐标方程为，圆的圆心为，半径为，则直线被圆所截得的弦长为__________． 12．已知，则实数的取值范围是________． 13．如图，在中，，过作的外接圆的切线，于，与外接圆交于点，已知，则的外接圆的半径为________. （二）必做题（12～16题） 14．已知向量且，则 _______． 15．已知函数在区间的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则 （1）的值为______；
（2）在和轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数 与轴围成的区域内的概率为__________． 16．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出一个著名的猜想任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；
如果是奇数，则将它乘加（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到．如初始正整数为，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列，，，，，，，，． （1）如果，则按照上述规则施行变换后的第项为_________；
（2）如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为（注可以多次出现），则的所有不同值的个数为________． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤） 17．本小题满分12分 已知等比数列的各项均为正数，，， （1）求的值及数列的通项公式；
（2）是否存在等差数列，使得对任意都成立若存在，求出数列的通项公式；
若不存在，请说明理由． 18. 本小题满分12分）甲、乙、丙、丁、戊名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”． （1）从上述回答分析，人的名次排列可能有多少种不同的情况 （2）比赛组委会规定，第一名获奖金元，第二名获奖金元，第三名获奖金元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望． 19．本小题满分12分如图①，直角梯形中，，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图②的位置，使． （1）求证平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． ② ① 20. 本小题满分13分）外国油轮（简称外轮）除特许外，不得进入离我国海岸线海里以内的区域.如图所示，我国某海岛是由半径为海里的一段圆弧圆周和线段所围的区域（、、分别位于圆心的正西、正东和正北位置）.在、设有两个观察点，现发现在点处停有一外轮，并测得，. 1该外轮是否已进入我国领海主权范围内 （2）该外轮因故障向我方求助，我方停泊在处的求助船紧急起航，首先沿正北方向行驶一段至点位置，再从（“拐点”）向右拐头沿直线前往出事点，记“拐角”的大小为.由于水域的原因，救助船沿方向的行船最大速度是方向行船最大速度的倍.试确定的值，使我方救助船到达点的时间最短. 21.本小题满分13分 已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且. （1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点. 试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；
若不是，请说明理由. 22. 本小题满分13分 已知函数. （1）若，求在点处的切线方程；
（2）令，求证在区间上，存在唯一极值点；
（3）令，定义数列，. 当且时，求证对于任意的，恒有. 益阳市第一中学2014年第十次月考 高三数学试题（理科）参考答案 一．选择题（每小题5分，共50分）1---10 ADBCC DAAAC 二．填空题（本大题6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分） （一）选做题11． 12． 13． （二）必做题14． 15．；
16．（1） （2） 三．解答题（本大题共6小题，共75分） 17.（12分） 解（1）设，则， ，，．5分 （2）存在等差数列，使得对任意都成立． 7分 下面用数学归纳法证明 （i）当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．8分 （ii）假设当时等式成立，即，9分 则 11分 这就是说，当时，等式也成立． 综上（i）（ii）可知，等式对一切都成立．故存在等差数列，使得对任意都成立.12分 18．（12分）解（1）人的名次排列可能情况的种数是 种可能．5分 （2）记事件“丙获第一名、丙获第二名、丙获第三名、丙获第四名、丙获第五名”分别为 、、、、，则，，， ，8分 故随机变量丙获奖金数的可能取值为且 ，，， 随机变量丙获奖金数的分布列为 10分 （元）．12分 19．（12分）解（1）取的中点，连接，则 ，所以 ，所以，故平面平面．所以平面．5分 （2）如图所示，以中点为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，， ，的中点坐标为，， 易知平面的一个法向量，记，7分 设平面的一个法向量为，而，，则 ，即，取10分 ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值．12分 20．（13分）解（1）连接，因，. 在中， ，即，故该外轮未进入我领海主权范围内.5分 （2）作于，于，则， 因，首先应有，，设方向的船速为，则我救助船全速到达点共所需时间为 7分 ，令得，设使的锐角为，在当时，，当时，；
在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值.10分 另一方面，延长与交于，须救助船才能沿直线航行， ，由解得，此时，而当时，，由的单调性知取时，最小.12分 综上可知，为使到达点时间最短，当时，救助船选择的拐角应满足；
当时，救助船应在处拐头直朝点航行，此时.13分 21．（13分）解（1）直线过右焦点且与轴垂直，. 又椭圆的离心率为，且， ，解得 ，故椭圆的方程为.5分 （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，则7分 三点共线，，即8分 同理可得， 10分 而11分 故直线的斜率为定值.13分 22．（13分）解（1）若，则，， 所以所求的切线方程为 即.3分 （2），问题等价于证明在上有唯一零点 . 事实上，，，所以在上单调递减，且，. 故原命题得证.8分 （3）当时，，，，，， 而 所以 .13分 9 益阳市第一中学高三理科数学试题 第9页（共4页）