3-3 导数的实际应用 1.在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为 A.和R B.R和R C.R和R D．以上都不对 [答案] B [解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4 0＜x＜R， l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R. 当0＜x＜R时，l′＞0；
当R＜x＜R时，l′＜0. 所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R. 2．文正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 A. B. C. D．2 [答案] C [解析] 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝a2h，∴h＝，表面积S＝a2＋3ah＝a2＋， 由S′＝a－＝0，得a＝，故选C. 理做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 A. B. C. D. [答案] C [解析] 如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h. 设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb＝2πaR2＋， ∴y′＝4πaR－. 令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，＝. 3．2020山东文，8已知某生产厂家的年利润y单位万元与年产量x单位万件的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 [答案] C [解析] ∵y＝－x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81x0． 令y′＝0得x＝9，令y′9，令y′0得00，得00有实数解．当a≥0时，显然满足；
当a0，∴－1－1. 9．有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小 [分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小．问题转化为V一定求总造价y的最小值，选取恰当变量圆柱高h或底半径r来表示y即变为函数极值问题． [解析] 解设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y＝3mπr2＋mπr2＋2πrh． 由于V＝πr2h，得h＝，所以y＝4mπr2＋ r0． 所以，y′＝8mπr－. 令y′＝0，得r＝，此时，h＝＝4. 该函数在0，＋∞内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在，当r＝时，y有最小值，即hr＝4时，总造价最小． 10．文已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少 [解析] 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h， 由于x2＋x2＋h2＝d2， ∴x2＝d2－h2． ∴球内接正四棱柱的体积为 V＝x2h＝d2h－h3，0h0，∴cosθ，∴选D. [点评] 若fx为三次函数，fx在R上有极值，则f ′x＝0应有二不等实根，当fx有两相等实根时，不能保证fx有极值，这一点要特别注意，如fx＝x3，f ′x＝x2＝0有实根x＝0，但fx在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件． 12．文2020安徽合肥市质检函数y＝fx的图象如图所示，则y＝f ′x的图象可能是 [答案] D [解析] 由fx的图象知，fx在－∞，0上单调递增，在0，＋∞上单调递减，∴在0，＋∞上f ′x≤0，在－∞，0上f ′x≥0，故选D. 理如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点x，y的切线的斜率为k，若k＝gx，则函数k＝gx的图象大致为 [答案] A [解析] ∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， ∴k＝gx＝xcosx，易知其图象为A. 13．2020江苏，14将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． [答案] [解析] 设DE＝x， 则梯形的周长为3－x， 梯形的面积为x＋11－x＝1－x2 ∴s＝＝，x∈0,1， 设hx＝，h′x＝. 令h′x＝0，得x＝或x＝3舍， ∴hx最小值＝h＝8， ∴s最小值＝8＝. 14．文2020陕西宝鸡市质检高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；
市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x0x1，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元． 1写出月利润y与x的函数关系式；
2如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大． [解析] 1依题意，销售价提高后变为60001＋x元/台，月销售量为a1－x2台， 则y＝a1－x2[60001＋x－4500]， 即y＝1500a－4x3－x2＋4x＋10x1． 2由1知y′＝1500a－12x2－2x＋4， 令y′＝0得，6x2＋x－2＝0， 解得x＝或x＝－舍去． 当0x0；
当x1时，y′0. 故当x＝时，y取得最大值． 此时销售价为6000＝9000元． 故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大． 理2020南通模拟甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P元关于速