概率与统计 【2019年高考考纲解读】 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查. 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注． 3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用. 4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力． 5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等. 6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现． 【重点、考点剖析】 一、排列组合与计数原理的应用 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；
如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2. 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取mm≤n个元素，元素无重复 不同点 ①排列与顺序有关；
②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ①组合与顺序无关；
②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 二、二项式定理 1．通项与二项式系数 Tr＋1＝Can－rbr，其中Cr＝0,1,2，，n叫做二项式系数． 2．各二项式系数之和 1C＋C＋C＋＋C＝2n. 2C＋C＋＝C＋C＋＝2n－1. 三、古典概型与几何概型 1．古典概型的概率公式 PA＝＝. 2．几何概型的概率公式 PA＝ . 四、相互独立事件和独立重复试验 1．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率 PB|A＝. 2．相互独立事件同时发生的概率 PAB＝PAPB． 3．独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pnk＝Cpk1－pn－k，k＝0,1,2，，n. 五、离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．均值与方差的性质 1EaX＋b＝aEX＋b；
2DaX＋b＝a2DXa，b为实数． 2．两点分布与二项分布的均值、方差 1若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p1－p；
2若X～Bn，p，则EX＝np，DX＝np1－p． 【题型示例】 题型一 排列组合与计数原理 例1、1[2018全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．用数字填写答案 2[2018浙江卷]从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．用数字作答 【解析】不含有0的四位数有＝720个． 含有0的四位数有＝540个． 综上，四位数的个数为720＋540＝1 260. 【答案】1 260 【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径 1以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． 2以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． 3先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数. 【变式探究】2017全国Ⅱ安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种． 站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为 A．24 B．18 C．16 D．10 解析分两种情况，第一种最后体验甲景区，则有A种可选的路线；
第二种不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋CA＝10.选D. 答案D 【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 解析解法一 记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120种． 解法二 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48种；
②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种；
③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120种． 答案A 【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；
“乐”，主要指美育；
“射”和“御”，就是体育和劳动；
“书”，指各种历史文化知识；
“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有 A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 2若自然数n使得作竖式加法n＋n＋1＋n＋2均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；
23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为 A．9 B．10 C．11 D．12 答案 D 解析 根据题意个位数需要满足要求 n＋n＋1＋n＋210，即n2.3， ∴个位数可取0,1,2三个数， ∵十位数需要满足3n10，∴n3.3， ∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有34＝12个． 【感悟提升】1在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． 2对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 【变式探究】 1某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元红包中金额相同视为相同红包，则甲、乙都抢到红包的情况有 A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案 C 解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种抢法；
若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种抢法；
若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6种抢法；
若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6种抢法． 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种． 22018百校联盟联考某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有 1 2 3 4 A.9种 B．18种 C．12种 D．36种 答案 B 解析 若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有32＝6种种植方式；
若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有63＝18种种植方式． 题型二 二项式定理 例2、1[2018全国卷Ⅲ]5的展开式中x4的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 【解析】 5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5x25－rr＝C52rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C522＝40. 故选C. 【答案】C 【变式探究】2017浙江已知多项式x＋13x＋22＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________. 答案 16 4 解析 a4是x项的系数，由二项式的展开式得 a4＝CC2＋CC22＝16. a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝CC22＝4. 【变式探究】2017浙江从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．用数字作答 答案 660 【变式探究】若1－3x2 018＝a0＋a1x＋＋a2 018x2 018，x∈R，则a13＋a232＋＋a2 01832 018的值为 A．22 018－1 B．82 018－1 C．22 018 D．82 018 【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a13＋a232＋＋a2 01832 018＝1－92 018＝82 018，所以a13＋a232＋＋a2 01832 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B. 【答案】B 【方法技巧】 1利用二项式定理求解的两种常用思路 ①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的． ②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值． 2【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点 ①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；
2已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值． 【解析】 11台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则X～B， ∴PX＝0＝C4＝，PX＝1＝C 3＝，PX＝2＝C22＝，PX＝3＝C3＝，PX＝4＝C4＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X＝0，X＝1，X＝2，，X＝n，这n＋1个互斥事件的和事件，则 n 0 1 2 3 4 PX≤n 1 ∵＜90≤，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90. 2设该厂每月可获利Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8，PY＝18＝PX＝0＋PX＝1＋PX＝2＝，PY＝13＝PX＝3＝，PY＝8＝PX＝4＝， ∴Y的分布列为 Y 18 13 8 P 则EY＝18＋13＋8＝万元． 故该厂每月获利的均值为万元． 【方法技巧】 1求复杂事件概率的两种方法 ①直接法正确分析复杂事件的构成，将复杂