2020高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（一）学案 新人教A版必修4 学习目标1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功． 2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义． 3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． 学习重点向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别， 学习难点向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系 一．知识导学 1．两个向量的夹角 1已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是 . 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ ． 2当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 . 2．平面向量的数量积 1定义已知两个非零向量a与b，我们把数量_________叫做a与b的数量积或内积，记作ab，即ab＝_________，其中θ是a与b的夹角． 2规定零向量与任一向量的数量积为 . 3投影设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是_______，向量b在a方向上的投影是_______. 3．数量积的几何意义 ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_______的乘积． 二．探究与发现 【探究点一】平面向量数量积的含义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作ab，即ab＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]． 规定零向量与任一向量的数量积为0. 问题1 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝_________＝___. 问题2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量． 对于两个非零向量a与b. 当θ∈_________时，ab0；
当_________时，ab＝0，即a⊥b；
当θ∈_________时，ab0. 【探究点二】投影 问题1 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义ab＝|a||b|cos θ可得 |a|cos θ＝ ；
|b|cos θ＝ . 例如，|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角θ＝120，则a在b方向上的投影为 ， b在a方向上的投影为 . 问题2 向量b在a方向上的投影不是向量，而是数量，它的符号取决于夹角θ的范围. 【探究点三】平面向量数量积的性质 根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质． 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． 1当〈a，b〉＝0时，ab＝ ；
当〈a，b〉＝π时，ab＝ ；
当〈a，b〉＝时，ab＝ ；
2 aa＝ 或|a|＝＝；
3cos θ＝ ；
4|ab| |a||b|. 【典型例题】 例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当1a∥b；
2a⊥b；
3a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积． 跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当1a∥b；
2a⊥b；
3a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积． 例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 跟踪训练2 已知|a|＝8，|b|＝6，|a＋b|＝10，求向量a与b的夹角θ. 例3 已知ab＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ. 跟踪训练3 已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影． 三、巩固训练 1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120，则向量b在a方向上的投影为 A．4 B．－4 C．2 D．－2 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120，则aa＋ab＝________. 3．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则的值是________． 4．已知正三角形ABC的边长为1，求 1；
2；
3. 四、小结 1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正当a≠0，b≠0,0≤θ90时，也可以为负当a≠0，b≠0,90θ≤180时，还可以为0当a＝0或b＝0或θ＝90时． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．ab＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分．