4．【上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中】若，则________. 【答案】 【解析】 故答案为. 5．【2019年上海市松江区高三4月模拟考质量监控二模】设不等式组表示的可行域为，若指数函数的图像与有公共点，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 由图可得,只有当时,图象才能经过区域内的点；
当图象经过区域的边界点时,可以取到最大值2；
故的取值范围是 故答案为 6．【上海市西南位育中学2019-2020学年高三上学期期中】若函数图像与函数的图像关于直线对称，则_____. 【答案】 【解析】 因为两个函数互为反函数，因此 7．【上海市高桥中学2020届上学期高三开学考】不等式解集为，则 . 【答案】 【解析】 由得，，即， 变形得，，且， 所以， 因为解集为， 所以，且，解得， 故本题答案为. 8．【上海市复兴高级中学2019年5月高三模拟】设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________ 【答案】2019 【解析】 由二次方程根与系数的关系可得， 由等差数列的性质得出， 因此，等差数列的前项的和为， 故答案为. 9．【上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考】已知实数、、成等差数列，点在动直线（、不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 由于成等差数列，故，所以直线可化为，即，令，解得，所以直线过定点，所以点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点，半径，所以的最大值为，最小值为，所以的取值范围是. 故填. 10．【2019年上海市控江中学高三三模】甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则掷出的点数满足的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】 【解析】 由题可知，基本事件总数， 掷出的点数满足包含的基本事件，，有 当时，有，2，，，1，，，3，，，2，，，4，， ，3，，，5，，，4，，，6，，，5，，共10个；
当时，有，3，，，1，，，4，，，2，，，5，， ，3，，，4，，，6，，共8个；
当时，有，4，，，1，，，5，，，2，，，6，，，3，，共6个；
当时，有，5，，，1，，，6，，，2，，共4个；
当时，有，6，，，1，，共2个；
合计共30个， 掷出的点数满足的概率为． 故答案为． 11．【上海市上海中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题】设，若的最小值为，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 由题意得， ①当时，即，的最小值可以在中取得， 则需满足在上恒成立，整理得在上恒成立， 即或， 解得，又，所以；
②当时，的最小值在中取得，由得， 则，解得（舍去）, 综上所述实数的取值范围是. 故答案为. 12．【2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟（三模）】对任意和，恒有，则实数的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 先给出公式，证明如下， 即 则原式可变形为 即， 或，①， 由①得②或③ 当且仅当时取等号，所以的最小值为， ， 显然当为减函数（由对勾函数性质可得），，由此可得，即 综上所述或 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．【2019年上海市向明中学三模】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 由题意得直线斜率存在，设为k，则直线， 由直线与圆有公共点得， 从而倾斜角取值范围是，选D. 14．【2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月信心考】我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 由球体的体积公式得，，， ，，，与最为接近，故选C. 15．【上海市上海中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题】若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由得或，即或，因为，所以或， 当时，，所以或， 所以要存在，使得或成立，则需或， 所以或， 故选D. 16．【上海市延安中学2018-2019学年度高三5月月考】已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系， 设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ， 所以， 由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是。故选A。
三. 解答题（本大题共5题，共141414161876分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．【上海市奉贤中学2018-2019学年高三下学期3月月考】如图,在直三棱柱中,∠ACB90,M为线段AB的中点,N为线段的点，且 1求三棱锥的体积；
2求直线CN与底面ABC所成角的大小结果用反三角表示. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）利用等体积法求得 （2）以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如图 可设底面ABC的法向量为，，，，设，由可得，其中，，由得，则，设直线CN与底面ABC所成角的大小为，则，则 18．【2019年上海市进才中学高三上学期第一次月考】已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称. （1）求函数的解析式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）依题意，函数的图象过点和. 所以，故. （2）不等式可化为. 即对一切的恒成立. 因为，当且仅当时等号成立，所以. 19．【2019年上海市普陀区高三上学期期末统考】某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上，以过山脚（点）的水平线为轴，过山顶（点）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位百米）．已知所在抛物线的解析式，所在抛物线的解析式为 （1）求值，并写出山坡线的函数解析式；
（2）在山坡上的700米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米），假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时，索道的悬空高度有最大值，试求索道的最大悬空高度；
（3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由 【答案】（1） （2）米 （3）第一级台阶的长度为厘米，第二级台阶的长度为厘米，第三级台阶的长度为厘米，这种台阶不能从山顶一直铺到山脚. 【解析】 解（1）将点B（4,4）分别代入， 解得， 故；
（2）由图可知，由图观察可得只有当索道在上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值， 索道在上方时，悬空高度， 当时，， 故索道的最大悬空高度为米；
3在山坡线上，，， ①令得令，得， 所以第一级台阶的长度为（百米）（厘米）， 同理，令得 所以第一级台阶的长度为（百米）（厘米）， 所以第二级台阶的长度为（百米）（厘米）， 所以第三级台阶的长度为（百米）（厘米）， ②取点，又取， 则， 因为， 故这种台阶不能从山顶一直铺到点，从而就不能一直铺到山脚. 20．【2019年上海市大同中学高三下学期5月三模】如图，以椭圆（）的右焦点为圆心，为半径作圆（其中为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点作此圆的切线，切点为. （1）若，为椭圆的右顶点，求切线长；
（2）设圆与轴的右交点为，过点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，若恒成立，且.求 （ⅰ）的取值范围；
（ⅱ）直线被圆所截得弦长的最大值. 【答案】（1）；
（2）（ⅰ），（ⅱ）. 【解析】 （1）由得 当为椭圆右顶点时， 又圆的半径为 （2）（ⅰ）当取得最小值时，取得最小值 ，则，即 又，，解得 即的取值范围为 （ⅱ）由题意得，则直线 联立得 设，，则， ，整理可得 又 直线，即 圆心到直线距离，又半径 直线被圆截得的弦长为 令，则，令 当，即时， 即直线被圆截得的弦长的最大值为 21．【2019年上海市南洋中学高三上学期10月学习能力诊断】若有穷数列（）满足①；
②.则称该数列为“阶非凡数列” （1）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；
（2）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；
（3）记“阶非凡数列”的前项的和为，求证 【答案】（1）三阶；
四阶；
（2），；
（3）证明见解析；
【解析】 （1）“阶非凡数列”为；
“阶非凡数列”为. （2）设等差数列的公差为， ， ，即， 当时，为递增数列， 且， ， ①；
②， ， ， . ， 当时，为递减数列，同理可得 ，， ， 即， . （3）当时，；
当时，， ， ， ， ， 综上所述成立.