第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题 01 基础题 知识点1 一般图形的问题 1．衡阳中考绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为B A．xx－10＝900 B．xx＋10＝900 C．10x＋10＝900 D．2[x＋x＋10]＝900 2．山西农业大学附中月考从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是B A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm． 4．宿迁中考一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m. 5．深圳中考一个矩形周长为56厘米． 1当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少 2能围成面积为200平方厘米的矩形吗请说明理由． 解1设矩形的长为x厘米，则宽为28－x厘米，依题意，有 x28－x＝180. 解得x1＝10舍去，x2＝18. 则28－x＝28－18＝10. 答长为18厘米，宽为10厘米． 2设矩形的长为y厘米，则宽为28－y厘米，依题意，有 y28－y＝200. 化简，得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝282－4200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根． 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 知识点2 边框与甬道问题 6．兰州中考公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花如图，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为C A．x＋1x＋2＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．x－1x－2＝18 D．x2＋3x＋16＝0 7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米设道路的宽为x米，则可列方程为C A．10080－100 x－80 x＝7 644 B．100－x80－x＋x2＝7 644 C．100－x80－x＝7 644 D．100 x＋80 x＝356 8．如图所示，相框长为10 cm，宽为6 cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32 cm2，则相框的边缘宽为多少厘米 解设相框的边缘宽为x cm，根据题意，得10－2x6－2x＝32. 整理，得x2－8x＋7＝0， 解得x1＝1，x2＝7. 当x＝7时，6－27＝－8＜0，不合题意，舍去． 答相框的边缘宽为1 cm. 易错点 忽视根的合理性，忘记验根 9．大同一中期末如图，要利用一面墙墙长为25米建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米 解设AB＝x，则BC＝100－4xBC≤25． 根据题意，得x100－4x＝400， 解得x1＝5，x2＝20. 当x＝5时，100－4x＝80，不满足BC≤25，不合题意，舍去；
当x＝20时，100－4x＝20. 所以AB为20米，BC为20米． 02 中档题 10．高平特力期中如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是A A．32－2x20－x＝570 B．32x＋220 x＝3220－570 C．32－x20－x＝3220－570 D．32x＋220 x－2x2＝570 11．襄汾期末如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路阴影部分所示，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是C A．40－x70－x＝2 450 B．40－x70－x＝350 C．40－2x70－3x＝2 450 D．40－2x70－3x＝350 12．在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为x2＋40 x－75＝0． 13．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2 解设矩形温室的宽为x m，则长为2x m．根据题意，得 x－22x－4＝288. 解得x1＝－10不合题意，舍去，x2＝14. 所以2x＝214＝28. 答当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2. 03 综合题 14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． 1如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2 2如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm 3在问题1中，△PBQ的面积能否等于7 cm2说明理由． 解1设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得 x5－x＝4. 解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时，2x＝87，不合题意，舍去． ∴x＝1. 答1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2. 2设y秒后，PQ＝5 cm，则 5－y2＋2y2＝25. 解得y1＝0舍去，y2＝2. ∴y＝2. 答2 s后，PQ的长度等于5 cm. 3设a秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得 a5－a＝7. 此方程无解． ∴△PBQ的面积不能等于7 cm2. 5