冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃 专题29 抛物线 一、选择题 1．（双曲线与抛物线交汇）已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】因为双曲线的离心率，所以， 设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为， 因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于， 因为，所以，即， 即双曲线的方程为，选B. 2．（抛物线与圆交汇求最值）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 A．3B．C．D．4 【答案】B 【解析】设， 由抛物线方程可得抛物线的焦点坐标为， 由抛物线定义得 又, 所以， 当且仅当三点共线时（F点在PQ中间），等号成立， 令，可化为， 当且仅当，即时，等号成立． 故选B 3．（抛物线定义与圆）已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为 A．3B．4C．5D．6 【答案】B 【解析】 抛物线的焦点，准线， 圆的圆心为，半径， 过点作垂直准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，则， 当三点共线时取最小值， ． 即有取得最小值4，故选B． 二、填空题 4．（抛物线与向量交汇）抛物线y24x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若BA4BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______． 【答案】433 【解析】由题意可知AF3BF，结合焦半径公式有p1-cosα3p1cosα， 解得cosα12,απ3，故直线AB的方程为y3x-1， 与抛物线方程联立可得3y2-43y-120， 则y1-y24332-4-483， 故△OAB的面积S12OFy1-y212183433. 5．（抛物线点差法）已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】设， 由抛物线定义可知，则 又为中点，则 抛物线方程为 则，两式作差得 则 直线的方程为，即 点到直线的距离 本题正确结果 6．（抛物线求参数最值）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2pxp0上任意一点，M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________. 【答案】 【解析】如图， 由题可知F，设P点坐标为 y0＞0，则 kOM＝，当且仅当＝2p2等号成立. 7．（抛物线与定值问题）已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则__________． 【答案】-3 【解析】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则. 故答案为-3. 8．（抛物线的应用）抛物线有如下光学性质由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________． 【答案】 【解析】由抛物线的光学性质可得必过抛物线的焦点， 当直线斜率存在时，设的方程为，， 由得，整理得， 所以，， 所以；
当直线斜率不存在时，易得；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；
因此，所求方程为. 故答案为 三、解答题 9．（抛物线与定直线）已知两点在抛物线上，点满足． （1）若线段，求直线的方程；
（2）设抛物线过两点的切线交于点．求证点在一条定直线上． 【答案】（1）；
（2）见解析 【解析】（1）设， 与联立得， ， ， ， 又，即， 解得（舍），所以直线的方程 （2）证明过点的切线 ，①， 过点的切线，②， 联立①②得点，所以点在定直线上． 10．（抛物线中的定值问题）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线上点的纵坐标为，. （1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；
若不是，请说明理由. 【答案】（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析 【解析】（1）由题知，， 所以 ， 因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 又知，， 所以曲线的标准方程为. 又由题知， 所以 ， 所以， 又因为点在抛物线上，所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）设，， 由题知，所以，即， 所以 ， 又因为，， 所以， 所以为定值，且定值为1. 8 / 8