课时作业15 导数与函数的极值、最值 [基础达标] 一、选择题 1．函数y＝的最大值为 A．e－1 B．e C．e2 D. 解析令y′＝＝0，解得x＝e.当xe时，y′0，故fx＝xlnx－x在x＝1处取得极值，符合题意，排除A，C；
当m＝时，fx＝xlnx－x2－x，f′x＝lnx－x，令gx＝lnx－x，则g′x＝－，当0e时，g′x0， 所以f′x0，函数递增， 所以当x＝1时，函数取得极小值． 当x0，fx单调递增． ∴当cosx＝，fx有最小值． 又fx＝2sinx＋sin2x＝2sinx1＋cosx， ∴当sinx＝－时，fx有最小值， 即fxmin＝2＝－. 答案－ 8．[2019山东淄博模拟]已知函数fx＝ex，gx＝ln＋，对任意a∈R，存在b∈0，＋∞，使fa＝gb，则b－a的最小值为________． 解析令y＝ea，则a＝lny，令y＝ln＋，可得b＝2e，令hy＝b－a，则hy＝2e－lny，∴h′y＝2e－.显然，h′y是增函数，观察可得当y＝时，h′y＝0，故h′y有唯一零点．故当y＝时，hy取得最小值，为2e－ln＝2＋ln2. 答案2＋ln2 三、解答题 9．[2018北京卷]设函数fx＝[ax2－4a＋1x＋4a＋3]ex. 1若曲线y＝fx在点1，f1处的切线与x轴平行，求a；
2若fx在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 解析1因为fx＝[ax2－4a＋1x＋4a＋3]ex， 所以f′x＝[ax2－2a＋1x＋2]ex. 所以f′1＝1－ae. 由题设知f′1＝0，即1－ae＝0，解得a＝1. 此时f1＝3e≠0. 所以a的值为1. 2由1得f′x＝[ax2－2a＋1x＋2]ex ＝ax－1x－2ex. 若a，则当x∈时，f′x0. 所以fx在x＝2处取得极小值． 若a≤，则当x∈0,2时，x－20，gx单调递增． 所以gx≥g－1＝0. 因此fx＋e≥0. [能力挑战] 11．[2018全国卷Ⅰ]已知函数fx＝aex－lnx－1. 1设x＝2是fx的极值点，求a，并求fx的单调区间；
2证明当a≥时，fx≥0. 解析1fx的定义域为0，＋∞，f′x＝aex－. 由题设知，f′2＝0，所以a＝. 从而fx＝ex－lnx－1，f′x＝ex－. 当00. 所以fx在0,2上单调递减，在2，＋∞上单调递增． 2证明当a≥时，fx≥－lnx－1. 设gx＝－lnx－1，则g′x＝－. 当00. 所以x＝1是gx的最小值点． 故当x0时，gx≥g1＝0. 因此，当a≥时，fx≥0.