例1. 设，证明 分析若能注意到不等式的左端的分母和为定值，则可用代换法，乘积展开后巧用平均值不等式则可证得。
证明因为 故原不等式成立。
例2. 已知，且，求证 分析本题关键是找到求证式与已知式的关系，找到后则可巧用平均值不等式证明。
证明因为 所以 因为 所以 例3. 已知二次函数，且的两个根都在（0，1）内。
求证 分析本题可利用函数与方程的关系，由方程的两个根构造出函数，再利用平均值不等式证明。
证明因为有两个根，故可设 因为 于是 例4. 已知，求证 分析观察三个无理根式的分子和分母，发现分母的和是分子的和的2倍，于是可巧用平均值不等式证明。
证明由，有 即 同理有 三式相加得 等式成立的条件是 即 于是，与题设矛盾，故不取等号。
所以 例5. 已知，且。
求证 分析本题证法较多，但“巧”用平均值不等式来证明则较为简捷。
证明因为且 所以 即 当且仅当时，等号成立。
所以 用心 爱心 专心 119号编辑 3