高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念两边取模与共轭解题素材新人教A选修12.doc

两边取模与共轭解题 通过对已知复数等式两边取模或取共轭技巧，可以把问题转化．下面介绍几例． 一、 两边取模 由复数相等则其模也相等，据此即可借助于复数的模以简化运算． 例1 若nN*，求证方程z＋1＋z－1 0只有纯虚数根． 证明显然z 1不是原方程的根，因此，原方程与－1同解， 对上式两边取模得||1|| 1，即|z＋1| |z－1|， 设z a＋b a、bR，则有a＋1＋b a－1＋b a 0， 所以z b． 因z 0不是原方程的根，所以b≠0， 所以原方程只有纯虚数根． 例2 解方程z＋|| 2＋． 解∵| z | ||，∴原方程化为z＋| z | 2＋， 整理，得z 2－| z |＋， 对上式两边取模，得| z | | z | ， 所以z 2－| z |＋＋． 二、 同取共轭 由复数定义知，若a＋b c＋da、b、c、dR，则有a－b c－d．用两边同取共轭复数的方法解含有的复数问题功能奇特． 例3 复数z 满足1＋2 4＋3，求复数z． 解在1＋2 4＋3中两边取共轭复数，得 4＋， 解得z 2＋． 例4 设p、z、为复数，||≠1，关于z的方程－z p有多少个解 解在－z p中两边取共轭复数，得方程组 z－p＋z ， 即z1－|| ＋p． 因||≠1，故原方程有唯一解z ． 2