20010年2016年天津中考压轴题解析 3.2010天津在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、点在点 的左侧，与轴的正半轴交于点，顶点为. Ⅰ若，，求此时抛物线顶点的坐标；
Ⅱ将Ⅰ中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE S△ABC，求此时直线的解析式；
Ⅲ将Ⅰ中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE 2S△AOC，且顶点 恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式. 4.2011天津已知抛物线．点F1，1． Ⅰ 求抛物线的顶点坐标；
Ⅱ ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证 ②抛物线上任意一点P．连接PF．并延长交抛物线于点Q， 试判断是否成立请说明理由；
Ⅲ 将抛物线作适当的平移．得抛物线，若时．恒成立，求m的最大值． 5.2012天津已知抛物线yax2bxc0＜2a＜b的顶点为Px0，y0，点A1，yA、B0，yB、 C–1，yC在该抛物线上． Ⅰ当a1，b4，c10时，①求顶点P的坐标；
②求的值；
Ⅱ当y0≥0恒成立时，求的最小值． 6.2013天津已知抛物线y1ax2bxca≠0的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示 x –1 0 3 y1ax2bxc 0 0 Ⅰ求y1与x之间的函数关系式；
Ⅱ若经过点T0，t作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记Px，y2． 1求y2与x之间的函数关系式；
2当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围． 7.2014天津 在平面直角坐标系中，O为原点，直线lx1，点A2，0，点E、点F、点M 都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P. A F M E O P x y 1 Ⅰ若点M的坐标为1，–1. ① 当点F的坐标为1，1时，如图，求点P的坐标；
② 当点F为直线l上的动点时，记点Px，y，求y 关于x的函数解析式；
Ⅱ若点M 1，m，点F1，t，其中t ≠0.过点P作 PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ时，试用含t的式子表示m. 8.2015天津已知二次函数yx2bxcb，c为常数． Ⅰ当b2，c –3时，求二次函数的最小值；
Ⅱ当c5时，若在函数值yl的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析 式；
Ⅲ当cb2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21， 求此时二次函数的解析式． 9.（2016年）已知抛物线C的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）. （Ⅰ）求点P，Q的坐标；
（Ⅱ）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′＝OQ′. ① 求抛物线C′的解析式；
② 若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标. 解析版 3.2010天津在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、点在点 的左侧，与轴的正半轴交于点，顶点为. Ⅰ若，，求此时抛物线顶点的坐标；
Ⅱ将Ⅰ中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE S△ABC，求此时直线的解析式；
Ⅲ将Ⅰ中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE 2S△AOC，且顶点 恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式. 解Ⅰ当，时，抛物线的解析式为，即. ∴ 抛物线顶点的坐标为1，4． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 Ⅱ将Ⅰ中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有， ∴ 抛物线的解析式为． ∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为． ∵ 方程的两个根为，， ∴ 此时，抛物线与轴的交点为，． E y x F B D A O C 如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE S△BCF． ∵ S△BCE S△ABC， ∴ S△BCF S△ABC． ∴ ． 设对称轴与轴交于点， 则． 由EF∥CB，得． ∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有． ∴ ．结合题意，解得 ． ∴ 点，． 设直线的解析式为，则 解得 ∴ 直线的解析式为. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 Ⅲ根据题意，设抛物线的顶点为，， 则抛物线的解析式为， 此时，抛物线与轴的交点为， 与轴的交点为，. 过点作EF∥CB与轴交于点，连接， 则S△BCE S△BCF. 由S△BCE 2S△AOC， ∴ S△BCF 2S△AOC. 得. 设该抛物线的对称轴与轴交于点. 则 . 于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有． ∴ ，即． 结合题意，解得 ． ① ∵ 点在直线上，有． ② ∴ 由①②，结合题意，解得． 有，．∴ 抛物线的解析式为． ．．．．．．．．．．10分 4.2011天津已知抛物线．点F1，1． Ⅰ 求抛物线的顶点坐标；
Ⅱ ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证 ②抛物线上任意一点P．连接PF．并延长交抛物线于点Q， 试判断是否成立请说明理由；
Ⅲ 将抛物线作适当的平移．得抛物线，若时．恒成立，求m的最大值． A B O Q N F M P x y 解 I∵， ∴抛物线的顶点坐标为． II①根据题意，可得点A0，1， ∵F1，1． ∴AB∥x轴．得AFBF1， ②成立． 理由如下 如图，过点P作PM⊥AB于点M，则FM，PM ∴Rt△PMF中，由勾股定理，得 又点P在抛物线上， 得，即 ∴ 即． 过点Q作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N， 同理可得． 图文∠PMF∠QNF90，∠MFP∠NFQ， ∴△PMF∽△QNF 有 这里， ∴ 即 Ⅲ 令， 设其图象与抛物线交点的横坐标为，x0′，且 x0′， ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线向右不断平移，，x0′ 的值不断增大， ∴当满足，．恒成立时，m的最大值在x0′ 处取得. 可得当时．所对应的x0′ 即为m的最大值． 于是，将带入， 有解得或舍 ∴ 此时，，得 x0 O y3x C2 2 x y x0′ 解得，x0′8 ∴m的最大值为8. 5.2012天津已知抛物线yax2bxc0＜2a＜b的顶点为Px0，y0，点A1，yA、B0，yB、 C–1，yC在该抛物线上． Ⅰ当a1，b4，c10时，①求顶点P的坐标；
②求的值；
Ⅱ当y0≥0恒成立时，求的最小值． 解Ⅰ若a1，b4，c10，此时抛物线的解析式为yx24x10. ①∵yx24x10x226，∴抛物线的顶点坐标为P–2，6. ②∵点A1，yA、B0，yB、C–1，yC在抛物线yx24x10上， ∴yA15，yB10，yC7.∴. x O y A C D E F B G x1 x2 A1 –1 1 Ⅱ由0＜2a＜b，得. 由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1， 则AA1yA，OA11. 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D， 则BDyB－yC，CD1. 过点A作AF∥BC，交抛物线于点Ex1，yE， 交x轴于点Fx2，0. 则∠FAA1∠CBD.∴Rt△AFA1∽Rt△BCD. ∴ ，即. 过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD. ∴，即1–x1. ∵点A1，yA、B0，yB、C–1，yC、Ex1，yE在抛物线yax2bxc上， ∴yAabc，yBc，yCa–bc，yEax12bx1c， ∴，化简，得x12x1–20， 解得x1 –2x11舍去.∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜–1. 则1–x2≥1–x1，即1–x2≥3.∴的最小值为3. 解法2 Ⅱ解设m＞0，由于b＞2a＞0，令b2am 当y0≥0恒成立时，应有b2–4ac≤0 ∴2am2–4ac≤0 ∵a＞0 ∴c≥–2m2m2m ∵≥0 ∴c≥2m ∵点A1,yA、B0,yB、C–1,yC在抛物线yax2bxc上 ∴yAabc, yBc, yC a–bc ∴ 代入b2am,得 ∵c≥2m, ∴ ≥3 ∴的最小值为3 解法3 A1,abc、B0,c、C–1,a–bc 由B0,c、C–1,a–bc得直线BC为yb–axc ∵AE∥BC ∴设直线AE为yb–axm 将A1,abc代入上式，得m2ac. ∴直线AE为yb–ax2ac 由得x2x–20. 解得E点横坐标为x1–2x11舍去 ∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1. 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3.∴的最小值为3. 6.2013天津已知抛物线y1ax2bxca≠0的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示 Ⅰ求y1与x之间的函数关系式；
Ⅱ若经过点T0，t作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记Px，y2． 1求y2与x之间的函数关系式；
2当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围． x –1 0 3 y1ax2