2018海淀区高三理科数学二模试题及答案,.pdf

海淀区高三年级第二学期期末练习数学理科第一部分选择题共 40 分一选择题共8 小题每小题5 分共 40 分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项 1 已知全集 1 2 3 4 5 6 U 集合 1 2 4 1 3 5 AB 则 UA BIe A 1 B 3 5 C 1 6 D 1 3 5 6 2 已知复数z在复平面上对应的点为 1 1 则 A 1z 是实数 B 1z 是纯虚数 C iz 是实数 D iz 是纯虚数 3 已知0 xy 则 A 11 xy B 11 22 xy C coscosxy D ln 1 ln 1 xy 4 若直线0 xya是圆 22 20 xyy 的一条对称轴则a的值为 A 1 B 1 C 2 D 2 5 设曲线C是双曲线则 C的方程为 2 2 1 4 y x 是 C的渐近线方程为 2yx 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 关于函数sincosfxxxx 下列说法错误的是 A f x是奇函数 B 0不是f x的极值点 C f x在 22 上有且仅有3个零点 D f x的值域是 R 7 已知某算法的程序框图如图所示则该算法的功能是 A 求首项为1 公比为2 的等比数列的前2017 项的和 B 求首项为1 公比为2 的等比数列的前2018 项的和 C 求首项为1 公比为4 的等比数列的前1009 项的和 D 求首项为1 公比为4 的等比数列的前1010 项的和 8 已知集合 115 MxxN 集合 123 A A A满足每个集合都恰有5个元素 123 AAAMUU 集合 i A中元素的最大值与最小值之和称为集合 i A的特征数记为 i X 1 2 3i 则 123 XXX的值不可能为 A 37 B 39 C 48 D 57 第二部分非选择题共 110 分二填空题共6 小题每小题5 分共 30 分 9 极坐标系中点 2 2 到直线cos1的距离为 10 在 52 x x 的二项展开式中 3 x的系数为 11 已知平面向量a b的夹角为 3 且满足 2a 1b 则a b 2 ab 12 在ABC中 4 5 6a b c 则tanA 13 能够使得命题曲线 22 1 0 4 xy a a 上存在四个点P Q R S满足四边形PQRS是正方形为真命题的一个实数a的值为 14 如图棱长为2 的正方体 1 1 11 ABCD ABCD中 M是棱 1 AA的中点点P 在侧面 1 1 ABB A内若 1 DP垂直于CM 则PBC的面积的最小值为开始 S 0 n 1 S S 2 n 1 n n 2 n 2018 输出 S 结束是否 AB C D A1B1 C1 D1 M P 三解答题共6 小题共80 分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程 15 本小题13 分如图已知函数 sin f xAx 0 0 2 A在一个周期内的图象经过 0 6 B 2 0 3 C 5 2 12 D三点写出 A 的值若 52 123 且 1f 求cos2的值 16 本小题共13 分某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况从高二年级随机抽取10 名学生进行了两轮测试并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩记录的数据如下 1 号2 号3 号4 号5 号6 号7 号8 号9 号10 号第一轮测试成绩 96898888929087909290 第二轮测试成绩 90909088888796928992 从该校高二年级随机选取一名学生试估计这名学生考核成绩大于等于90 分的概率从考核成绩大于等于90 分的学生中再随机抽取两名同学求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90 分的概率记抽取的10 名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为 1x 2 1 s 考核成绩的平均数和方差分别为 2 x 2 2 s 试比较 1 x与 2 x 2 1 s与 2 2 s的大小只需写出结论 17 本小题共14 分如图在三棱柱 111 ABC ABC中 1 2ACBCAB 1 AB 平面ABC 1ACAC D E 分别是AC 1 1BC的中点证明 11 ACBC 证明 DE平面 11 AABB 求 DE与平面11 BBCC所成角的正弦值 x y D CB O A C1A1 C B1 B D E 18 本小题共14 分已知椭圆C 2 2 1 4 x y F为右焦点圆O 22 1xy P 为椭圆C上一点且 P 位于第一象限过点 P 作 PT 与圆O相切于点 T 使得点 F T在OP两侧求椭圆C的焦距及离心率求四边形 OFPT 面积的最大值 19 本小题共 13分已知函数 3 ax f xaxe 0a 求 fx的极值当0a时设 211 3 2 ax g xaxx a e 求证曲线 yg x存在两条斜率为 1且不重合的切线 20 本小题共13 分如果数列 n a满足对任意正整数 ij ij 都存在正整数 k 使得 kij aaa 则称数列 n a具有性质 P 已知数列 n a是无穷项的等差数列公差为d 若 1 2a 公差3d 判断数列 n a是否具有性质 P 并说明理由若数列 n a 具有性质 P 求证 1 0a且 0d 若数列 n a具有性质P 且存在正整数 k 使得2018 k a 这样的数列 n a共有多少个并说明理由海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数学理科第一部分选择题共 40 分一选择题共8 小题每小题5 分共 40 分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项 12345678 BCDBACCA 第二部分非选择题共 110 分二填空题共6 小题每小题5 分共 30 分 9 1 10 10 11 1 2 3 12 7 3 13 答案不唯一 0a或4a的任意实数 14 2 5 5 三解答题共6 小题共80 分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程 15 本小题13 分解 2A 2 3 7 分由得 2sin 2 3 f xx 因为 1f 所以 1 sin 2 32 8 分因为 52 123 所以2 32 9 分所以 5 2 36 11 分所以 7 2 6 12 分所以 73 cos2cos 62 13 分 16 本小题共13 分解这 10 名学生的考核成绩单位分分别为 93 89 88 90 91 91 其中大于等于90 分的有 1 号 5 号 7 号 8 号 9 号 10 号共 6 人 1 分所以样本中学生考核成绩大于等于90 分的频率为 6 0 6 10 3 分从该校高二年级随机选取一名学生估计这名学生考核成绩大于等于90 分的概率为 4 分设事件 A 从上述考核成绩大于等于 90 分的学生中再随机抽取两名同学这两名同学两轮测试成绩均大于等于90 分 5 分由知上述考核成绩大于等于90 分的学生共6 人其中两轮测试成绩均大于等于 90 分的学生有1 号 8 号 10 号共 3 人 6 分所以 2 3 2 6 31 155 C P A C 9 分 12 xx 22 12ss 13 分 17 本小题共14 分解因为 1 AB 平面ABC AC平面ABC 所以 1 ABAC 1 分因为 1 ACAC 11 ABACAI 1 AB 1 AC平面 11 AB C 所以AC平面 11 AB C 3 分因为 11 B C平面 11 AB C 所以 11 ACB C 4 分法一取 11 A B的中点M 连接 MA ME 因为E M分别是 11 B C 11 A B的中点所以ME 11 A C 且ME 11 1 2 AC 5 分在三棱柱 111 ABCA B C中 11 ADACP 且 11 1 2 ADAC 所以ME AD 且ME AD 所以四边形ADEM是平行四边形 6 分所以DE AM 7 分又AM平面 11 AA B B DE平面 11 AA B B 所以 DE平面 1 AA BB 9 分注与此法类似还可取AB的中点 M 连接 MD MB1 法二取AB的中点 M 连接 MD 1 MB 因为 D M分别是 AC AB 的中点所以MD BC 且MD 1 2 BC 5 分 A C 1 A1 C B1 B D E M A C1A1 C B1 B D E M A C1A1 C B1 B D E y x z 在三棱柱 111 ABCA B C中 1 B EBCP 且 1 1 2 B EBC 所以MD B1E 且 MD B1E 所以四边形B1E DM是平行四边形 6 分所以DE MB1 7 分又 1 MB平面 11 AA B B DE平面 11 AA B B 所以 DE平面 1 AA BB 9 分法三取BC的中点 M 连接 MD ME 因为D M分别是CA CB的中点所以 DMAB 5 分在三棱柱111 ABCA B C中 11 BCB C 11 BCB C 因为E M分别是11 C B和CB的中点所以 1 MBEB 1 MBEB 所以四边形 1MBB E是平行四边形 6 分所以 1 MEBB 7 分又因为MEMDMI 1 BBABBI ME MD平面 MDE BB1 AB平面 11 AA B B 所以平面 MDE平面 11 AA B B 8 分因为 DE 平面 MDE 所以 DE平面 1 AA BB 9 分在三棱柱 111 ABCA B C中 11 BCB C 因为 11 ACB C 所以ACBC 在平面 1 ACB内过点C作 1 CzAB 因为 1AB 平面ABC 所以 Cz平面ABC 10 分建立空间直角坐标系 C xyz 如图则 0 0 0 C 2 0 0 B 1 0 2 2 B 1 2 2 2 C 0 1 0 D 1 2 2 E 1 1 2 DE u uu r 2 0 0 CB uuu r 1 0 2 2 CB uu ur 11 分设平面 11 BB C C的法向量为 x y zn 则 1 0 0 CB CB uu u r uu ur n n 即 20 220 x yz A C 1 A1 C B1 B D E M x y T F O P 得0 x 令 1y 得 1z 故 0 1 1 n 12 分设直线 DE 与平面 11 BB C C所成的角为则 sin cos DE DE DE uu u r u uu r uuu r n n n 3 6 所以直线DE与平面 11 BB C C所成角的正弦值为 3 6 14 分 18 本小题共14 分解在椭圆 C 2 2 1 4 x y 中 2a 1b 所以 22 3cab 2 分故椭圆C的焦距为 22 3c 3 分离心率 3 2 c e a 5 分法一设 00 P xy 0 0 x 0 0y 则 2 2 0 0 1 4 x y 故 2 2 0 0 1 4 x y 6 分所以 222222 000 3 1 4 TPOPOTxyx 所以 0 3 2 TPx 8 分 0 13 24 OTP SOTTPx 9 分又 0 0 O 3 0 F 故 00 13 22 OFP SOFyy 10 分因此 0 0 3 22 OFPOTPOFPT x SSSy 四边形 11 分 2 20 00000 33 1 242 x x yyx y 由 2 20 0 1 4 x y 得 2 20 0 21 4 x y 即 00 1xy 所以 00 36 1 22 OFPT Sx y 四边形 13 分当且仅当 2 20 0 1 42 x y 即 0 2x 0 2 2 y时等号成立 14 分法二设 2cos sin P 0 2 6 分则 222222 4cossin13cosTPOPOT 所以 3 cosTP 8 分