第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂 A. 55986只B. 46656只C. 216只D. 36只 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题得到{an}是公比为6的等比数列,再利用等比数列的通项求出a6得解. 【详解】设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6, 则{an}是公比为6的等比数列,则a6=a1q5=665=46656. 故答案为B 【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 9.下列函数的最小值为的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析利用基本不等式的性质即可判断出正误,注意“一正二定三相等”的使用法则. 详解A.时显然不满足条件;
B .其最小值大于2. D . 令 因此不正确. 故选C. 点睛本题考查基本不等式,考查通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法. 10.已知在等差数列中, 则项数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的性质和题意可得a5=2,故a5an﹣4=32,而Sn240,代入可得答案. 【详解】由等差数列的性质可得S918, 解得a5=2,故a5an﹣4=32, 而Sn16n=240,解得n=15, 故选D. 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式,利用性质整体代入是解决问题的关键,属于基础题. 11.如图,在△ABC中,D为边AC上的点,且AB=AD,,BC=2BD,则cosC的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析由题意首先求得sinA的值,然后结合正弦定理求解sinC的值,进一步可得cosC的值. 详解设,则, 在△ABD中,由余弦定理可得,则 在△ABC中,由正弦定理可得, 故, ,即为锐角, 据此可得. 本题选择C选项. 点睛本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.设为奇函数且在内是减函数,,则的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性求出f(5)=0,分成两类,分别利用函数的单调性进行求解. 【详解】由函数是奇函数可知函数在内是减函数,所以在内为减函数,不等式变形为或 可知解集 故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基础题. 第Ⅱ卷(共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据分段函数的表达式直接代入进行求解即可. 【详解】由已知可得 故答案为1. 【点睛】本题主要考查分段函数求值,比较基础. 14.在中,内角的对边分别是,若则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换,利用正弦定理的三角形的面积公式求出结果. 【详解】△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a,c,A, 利用正弦定理, 解得sinC, 由于ac, 所以A>C. 则cosC, 则sinB=sin(AC)=sinAcosCcosAsinC, 所以, 故答案 【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换,考查了正弦定理和三角形面积公式的应用,属于基础题. 15.若不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是__________. 【答案】-∞,-4∪4,+∞ 【解析】 分析不等式的解集不是空集,只需相应方程有两个不同的根即可. 详解∵的解集不是空集, 有两个不同的实数根, 则需,或. 即答案为. 点睛本题是考查二次函数,二次不等式,二次方程间的相互转化和相互应用,这是函数中综合性较强的问题,需熟练掌握 16.已知数列的前项和为 则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用求解. 【详解】∵Sn=n22n, ∴a1=S1=12=3, n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n22n)﹣[(n﹣1)22(n﹣1)]=2n1, n=1时上式成立, ∴an=2n1. 故答案为2n1. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要注意公式的合理运用. 三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题60分 17.已知 (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,求的值. 【答案】(Ⅰ) ;
(Ⅱ). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得sinα,tanα的值. (Ⅱ)利用诱导公式化简f(x)的解析式,从而求得f(α)的值. 【详解】(Ⅰ)因为 所以 (Ⅱ)因为 所以 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式,属于基础题. 18.已知函数 (Ⅰ)用定义证明函数在区间上是增函数;
(Ⅱ)求该函数在区间上最大值与最小值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;
(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)在区间[1,∞)内任取两数x1,x2并规定好大小,再作差f(x1)﹣f(x2),根据增函数的定义判断即可;
(Ⅱ)又(Ⅰ)可知f(x)在区间上为增函数,由此可求得函数的最大值与最小值. 【详解】(Ⅰ)任取且 则 因为所以 所以即 所以函数在上是增函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数在区间上增函数, 所以 【点睛】本题考查函数单调性的判定及应用,着重考查利用函数单调性的定义证明其单调性,属于中档题. 19.已知等差数列中,,. (1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和. 【答案】(1);
(2). 【解析】 试题分析(1)根据等差数列中,,列出关于首项、公差的方程组,解方程组可得与的值,从而可得数列的通项公式;
(2)由(1)可得 ,利用裂项相消法求解即可. 试题解析(1)由,得,解得. 所以,数列的通项公式为. (2) , 所以的前项和 . 所以. 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧1;
(2) ;
(3);
(4) ;
此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误. 20.如图,、是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于点北偏东,点北偏西的处需要救援,位于点南偏西且与点相距海里的点处的救援船立即前往营救,其航行速度为海里/小时,则该救援船到达点需要多长时间 【答案】1h 【解析】 分析在中利用正弦定理算出的长,在中利用余弦定理算出的长后可得救援船达到所需时间 详解在中知,由正弦定理得, , 在中由余弦定理可知 , ∴所用时间. 点睛三角形中共有七个几何量(三边三角以及外接圆的半径),一般地,知道其中的三个量(除三个角外),可以求得其余的四个量. (1)如果知道三边或两边及其夹角,用余弦定理;
(2)如果知道两边即一边所对的角,用正弦定理(也可以用余弦定理求第三条边);
(3)如果知道两角及一边,用正弦定理. 21.在中,. (Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求的值. 【答案】(1);
(2)6. 【解析】 试题分析(Ⅰ)根据二倍角公式化简得,进而得;
(Ⅱ)利用余弦定理可得即可得的值. 试题解析 解(Ⅰ)因为, 所以. 因为,所以, 所以, 所以. (Ⅱ)由余弦定理可得, 所以, 解得或(舍). 解得. 22.已知数列的前项和,且, (1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和. 【答案】1,;
2. 【解析】 分析利用把题设中的递推关系转化为关于的递推关系并求出的通项,再利用对数的性质得到的通项.分析的特点,它是等差数列与等比数列的乘积,故用错位相减法求其前项和. 详解由题设有,故,整理得. 又,故,所以, 所以是以为首项,为公比的