答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利 第Ⅰ卷 注意事项 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式 如果事件A，B互斥，那么PA∪BPAPB． 棱柱的体积公式VSh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． 球的体积公式．其中表示球的半径． 一．选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合，则 （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由题意可得，所以．故选B． （2）设，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，可得，由，可得，即， 因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B． （3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A）（B）（C）（D） 【答案】C （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为 （A）0（B）1（C）2（D）3 【答案】C 【解析】初始，进入循环后的值依次为，结束循环，输出，故选C． （5）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为．故选D． （6）已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为 （A）（B）（C）（D） 【答案】C （7）设函数，其中．若且的最小正周期大于，则 （A）（B） （C）（D） 【答案】A 【解析】由题意得，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A． （8）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【解析】当，且时，即，即，显然上式不成立，由此可排除选项B、C、D，故选A． 第Ⅱ卷 注意事项 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为___________． 【答案】 【解析】为实数，则． （10）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为___________． 【答案】 （11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ___________． 【答案】 【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积． （12）设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为___________． 【答案】 （13）若a，，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】，前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号． （14）在中，，，．若，，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】由题可得，则 ． 三．解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分） 在中，内角所对的边分别为．已知，． （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值． 【解析】（Ⅰ）由及，得． 由及余弦定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入，得． 由（Ⅰ）知A为钝角，所以． 于是，， 故． （16）（本小题满分13分） 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （Ⅰ）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多 【解析】（Ⅰ）由已知，满足的数学关系式为，即． 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点（包括边界） （Ⅱ）设总收视人次为万，则目标函数为． 考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线． 为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大． 又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大． 解方程组得点M的坐标为， 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． （17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． （Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． （Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD． 又因为BC//AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC． （18）（本小题满分13分） 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， ． （Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和． 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由已知，得，而，所以． 又因为，解得，所以． 由，可得；
由，可得， 联立①②，解得，由此可得． 所以，的通项公式为，的通项公式为． （19）（本小题满分14分） 设，．已知函数，． （Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由，可得 ， 令，解得或．由，得． 当变化时，，的变化情况如下表 所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为． （Ⅱ）（i）因为，由题意知， 所以，解得． 所以，在处的导数等于0． （ii）因为，，由，可得． 又因为，，故为的极大值点，由（Ⅰ）知． 另一方面，由于，故， （20）（本小题满分14分） 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为． （i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得． 又由，可得，即．又因为，解得． 所以，椭圆的离心率为． （ii）由，可得，故椭圆方程可以表示为． 由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立 消去，整理得，解得（舍去），或． 因此可得点，进而可得， 所以． 由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离， 故直线和都垂直于直线． 因为，所以， 所以的面积为，同理的面积等于， 由四边形的面积为，得，整理得，又由，得． 所以，椭圆的方程为．