山西省临汾市2020届高三数学下学期线上模拟考试试题（2）理 共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则（ ） A．B．C．5D．3 2．已知全集为，集合,， 则 （ ） A．B． C．D． 3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 4．已知夹角为的向量满足，且，则向量的关系是 A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成角 5．公差不为零的等差数列中，成等比数列，则 （ ） A．B．C．D． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A．B．C．D． 7．已知满足，则 （ ） A．B．C．3D． 8．运行如图所示的程序算法，若输入的值为20，则输出的结果为（ ） A．20B．10C．0D． 9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ） A．3840B．5040C．6020D．7200 10．若不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的取值范围是 （ ） A．B． C．D． 11． 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，, ,的面积为，则该双曲线的方程为 （ ） A．B． C．D． 12．已知函数，函数， 若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A．B．C．D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．在讨论勾股定理的过程中，九章算术提供了许多整勾股数，如，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律若勾股数组中的某一个数是确定的奇数大于1，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 . 14．已知抛物线的焦点坐标为，则直线与抛物线围成的封闭图形的面积为 . 15．已知的最大值为，则的最小值 为 . 16． 设数列的前项和为，已知对于任意正整数，都有，若存在正整数，使得，则实数的取值范围 是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）的内角的对边分别为， 若，且为锐角． （1）求的值；
（2）当取得最小值时，求的值． 18． 12分如图，是正方形，平面，平面， ,． （1）求证；
（2）若二面角的余弦值为，求的值． 19．12分2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下 若根据往年防汛经验，每小时降雨量在时，要保持二级警戒，每小时降雨量在时，要保持一级警戒. （1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；
（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望. 20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且在椭圆上运动，当点恰好在直线l上时， 的面积为. （1）求椭圆的方程；
（2）作与平行的直线，与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围. 21．（12分）已知函数. （1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若函数的图象恒在直线的下方. ①求实数的取值范围；
②求证对任意正整数，都有. 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修44坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点. （1）若，求实数的值；
（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围. 23．（10分）选修45不等式选讲 已知函数其中m为常数. （1）若，求实数m的取值范围；
（2）求证对任意实数恒成立. 理科数学答案与解析 1．【答案】C【解析】，则，故. 2．【答案】D【解析】由条件可得，则，而, 故. 3．【答案】A【解析】当时，成立；
当时，由，故，综上可知，实数的取值范围是. 4．【答案】C【解析】由可得，即， 即，所以，即，所以方向相反. 5． 【答案】B【解析】设的公差为，由成等比数列可得， 即，即，故. 6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为. 7．【答案】B【解析】由可得，即，平方可得，即，故. 8． 【答案】B【解析】该框图的运行结果是 . 9．【答案】B【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有种；
“第一类”抽取4人的采访顺序有种，故不同的采访顺序有. 10．【答案】D【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示. 图中点，故阴影部分的面积为 ，解之得,， 设点,，则m的几何意义是点与点 连线的斜率.而,，由图可知，或， 故的取值范围是. 11．【答案】C【解析】由为的中点，所以，且，故， ，故，设双曲线的焦距为2c，在中， 由余弦定理可得 ,， 的面积为， ，双曲线的方程为. 12． 【答案】D【解析】当时，， 则，由可得或 （舍去）.当时，，当时， ，故在上单调递增，在 上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数 与曲线的图象如图所示. 由图可知，若函数与恰好有4个公共点，则，即，解之得. 13．【答案】145【解析】由，而，则这组勾股数中的“弦数”为145. 14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得，故抛物线方程为，把代入抛物线方程可得或，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为. 15．【答案】17【解析】，最大值为，故，整理可得，则 , 当且仅当时，取得等号，故的最小值为17. 16．【答案】【解析】由 ① 可得 ② 由②－①可得，即， 由可得,， 所以,是首项为1，公比为的等比数列，所以，， 即，所以，，设， 则，当，即时，递增， 当，即时，递减，故的最大值为. 故，故实数m的取值范围是. 17．【解析】 （1）由及正弦定理可得 ，即， 由可得，而是锐角，所以.（5分） （2）由余弦定理可得， 则， 当且仅当时，取得最小值.（9分） 此时，所以， .（12分） 18．【解析】 （1）是正方形，,平面,， 而平面,平面， 又平面,.（6分） （2） 如图，以为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设，则,.则， ,,. 设平面和平面的法向量分别为. 由条件可得，即，令，故. 同理可得. 由条件可得， 即，解之得或舍去..（12分） 19．【解析】 （1）这五组数据对应的频率分别为0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为 0.0577.50.3582.50.387.50.292.50.197.587.25.（3分） （2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为0.040.0250.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.30.7.所以，抽取的这10个小时中， 属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分） 从这10小时中抽取3小时，用表示一级警戒的小时数，的取值可能为0,1,2,3. 则,,,. 所以，的分布列为 0 1 2 3 则的期望值为（小时）.（12分） 20．【解析】 （1）由可得,. 根据对称性，不妨设点在第一象限，则点的坐标为， 设椭圆的焦距为2c，由条件可得，即， 由椭圆的离心率可得，所以，,，所以，,， ，解之得，故.故椭圆的方程为.（6分） （2）设直线的方程为.由可得， 由条件可得，即，所以，，或. 设，则. 则,.则， . 当时，，且在和上的取值范围相同， 故只需求在上的取值范围. 而在和上随的增大而增大. 的取值范围是.（12分） 21．【解析】 （1）由可得， 由条件可得，即. 则,， 令可得，当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的极大值为，无极小值.（4分） （2）①由条件可知只需，即在上恒成立. 即，而,,恒成立. 令，则，令可得. 当时，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为,，即实数的取值范围是.（8分） ②由①可知,时，，即对任意的恒成立. 令，则.， 即,.（12分） 22．【解析】 （1）曲线的极坐标方程可化为， 化为直角坐标系下的普通方程为，即. 直线的普通方程为，而点到直线的距离为， 由条件可得，即，结合可得.（5分） （2）显然点在直线上,把代入并整理可得 ，设点对应的参数分别为. 则，解之得或. 则，解之得或. 而,实数m的取值范围是.（10分） 23．【解析】 （1）由条件可知， ①当时，，解之得，所以，；
②当时，，恒成立，所以，；
③当时，，解之得，所以，. 综上可知，实数m的取值范围是．（5分） （2）, ，而， 对任意实数恒成立.（10分）