高三数学导数的应用（一）单调性与极值人教版知识精讲（通用）

高三数学导数的应用 一 单调性与极值高三数学导数的应用 一 单调性与极值人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 导数的应用 一 单调性与极值 1 函数的单调性 一般地 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 xfy 0 x f xf 如果 则为减函数 如果在某个区间内恒有 则为常数 0 x f xf0 x f xf 2 函数的极值 一般地 设函数在点附近有定义 如果对附近的所有点 都有 xf 0 x 0 x 就称是函数的一个极大值 记作 如果对 0 xfxf 0 xf xf 极大值 y 0 xf 附近的所有的点 都有就称是函数的一个极小值 记作 0 x 0 xfxf 0 xf xf 极大值和极小值统称为极值 0 xfy 极小值 判别是极大 小 值的方法是 0 xf 1 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大值 0 x0 x f0 x f 0 xf 2 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小值 0 x0 x f x f 0 0 xf 导数为 0 的点不一定是极值点 例如函数 处的导数是 0 但非极值 3 xxf 0 x 点 求可导函数的极值的步骤如下 xf 1 求导数 x f 2 求出方程的根0 x f 3 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么在这个根0 x f xf 处取得极大值 如果左负右正 那么在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 xf 那么这个根不是极值点 典型例题典型例题 例 1 确定函数在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 762 23 xxxf 解 解 xxxf126 2 令 解得或0126 2 xx2 x0 x 令 解得0126 2 xx20 x 故函数在和为增函数 在为减函数 xf 0 x 2 x 2 0 x 例 2 研究函数的单调性 axxxf 3 解 解 axxf 2 3 当时 则函数在 上是增函数0 a0 axf xf 当时 则在 上是增函数0 a 3 xxf xf 当时 则在 和 0 a 3 3 3 a x a xxf xf 3 a 上是增函数 在 上是减函数 3 a 3 a 3 a 例 3 已知的单调区间 2 1 1 2 1 2 1 0 1 2 32 x x x xxxx xf 解 解 1 当时 2 1 0 x 321 2 2 xxxf 即 故在 0 为减函数0 3 2 3 1 3 2 2 xxf xf 2 1 2 当时 2 1 x 1 2 1 x xxf 1 1 2 1 2 x xf 由解得 2 1 0 x xf 1 2 1 x 由解得 2 1 0 x xf 1 x 故函数在 1 是减函数 在 1 上是增函数 其图象如下 xf 2 1 例 4 已知 其中为常数 试求 433 23 axxxxfa 1 的极大值 xf 2 若的极大值为 5 求的值 xfa 3 曲线过原点的切线的方程 xfy 解 解 1 对一元二次函数 它的判别式axxxf363 2 0 x f 1 36 a 一元三次函数有极值的充要条件是有两相异实433 23 axxxxf0 x f 根 即 0 1 a 当时 设的两根 1 a0 x f 1 x 2 x 11 1 ax11 2 ax 21 xxxxxf 列表如下 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x x f 0 0 xf 极大 极小 此函数当时取极大值 xf11 1 axx 极大值为4 11 3 11 3 11 23 1 aaaaxf 231 1 2 aaa 2 令得5 1 xf5231 1 2 aaa 1 31 1 2 aaa 4 9 1 a 4 5 a 故当时 取极大值 5 4 5 a xf 3 设切点 P 曲线过 P 点的切线斜率为 0 x433 0 2 0 3 0 axxx 2 3 0 2 0 axxk 切线方程为 433 2 3 0 2 0 3 000 2 0 axxxxxaxxy 由切线过原点 O 0 0 故 0433 2 3 0 2 0 3 00 2 00 axxxaxxx 0432 2 0 3 0 xx 0 22 2 0 2 00 xxx2 0 x 把代入切线方程 得切线方程为2 0 xaxy3 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 一 选择题 1 设为的极值点 则 0 x xf A B 不存在 0 x f 0 x f C 或不存在 D 存在但可能不为 00 0 x f 0 x f 2 下列命题正确的是 A 极大值比极小值大 B 极小值不一定比极大值小 3 三次函数当时有极大值 4 当时有极小值 0 且函数过原点 则该 xf1 x3 x 函数是 A B xxxy96 23 xxxy96 23 C D xxxy96 23 xxxy96 23 二 填空题 4 函数的极大值为正数 极小值为负数 则的取值范围 0 3 23 aaxaxxfa 是 5 若函数与的图象有 3 个交点 则的范围是 xxy3 3 ay a 试题答案试题答案 一 1 C 2 B 3 B 提示提示 设 cxbxaxxf 23 则 03927 0627 4 023 0 3 0 3 4 1 0 1 cba cba cba cba f f f f 9 6 1 c b a 二 4 2 2 提示 提示 3 axacxf afxf 极小 aff 极大 2 2 0 0 a af af 5 2 2 提示 提示 故2 1 fy极小2 1 fy极大22 a