复变函数电子教案第二章.ppt

复变函数与积分变换FunctionofComplexVariableandIntegralTrans Chapter2解析函数AnalyticFunction 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom2 3初等解析函数ElementaryAnalyticFunction 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 一 复变函数的导数与微分 1 导数与微分的定义 若 极限 存在有限的值A 或 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 在定义中应注意 显然 则 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 例1 解 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 所以 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 例 2 可导与连续的关系 函数f z 在z0处可导则在z0处一定连续 但函数f z 在z0处连续不一定在z0处可导 说明 在复变函数中 处处连续但处处不可导的函数很多 而在实变函数中 要构造一个这样的函数非常困难 由上例结论 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 3 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来 且证明方法也是相同的 求导公式与法则 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 二 解析函数的概念 1 解析函数的定义 z0 D 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 根据定义可知 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的 但是 函数解析是与区域密切相伴的 要比可导的要求要高得多 即函数在z0点解析 函数在一点处解析与在一点处可导不等价 函数在z0点可导 函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 即函数在闭区域上解析 函数在闭区域上可导 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 3 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析 所有解析点的集合必为开集 2 解析函数的性质 即两个解析函数的复合仍是解析函数 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 根据定理可知 1 所有多项式在复平面内是处处解析的 3 奇点的定义 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 例2 解 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 例3 解 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 通过上述用定义讨论函数的可导性与解析性 我们深深地体会到 用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法 寻求研究解析性的更好的方法 任务 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 三 函数解析的充要条件 定理一 柯西 黎曼介绍 上式称为柯西 黎曼 Cauchy Riemann 方程 或条件 简称C R方程 或条件 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 证 1 必要性 则 则 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 2 充分性 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 证毕 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 解析函数的判定方法 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 例4 判定下列函数在何处可导 在何处解析 解 不满足柯西 黎曼方程 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 四个偏导数均连续 指数函数 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 四个偏导数均连续 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 例5 解 2020年5月31日星期日 例6 解 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 证 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 参照以上例题可进一步证明 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 例8设函数f z u x y iv x y 为解析函数 证明它能单独用变量z表示 证 由C R方程 2020年5月31日星期日 1 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念 掌握连续 可导 解析之间的关系以及求导方法 注意 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样 它们的一些求导公式与求导法则也一样 然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多 2 在本课中还得到了一个重要结论 函数解析的充要条件 掌握并能灵活应用柯西 黎曼方程 下一节 解析函数与调和函数的关系 2 1解析函数的概念ConceptofAnalyticFunction 2020年5月31日星期日 柯西资料 业绩永存的数学大师 柯西 Augustin LouisCauchy Born 21Aug1789inParis France Died 23May1857inSceaux nearParis France 2020年5月31日星期日 柯西1789年8月21日出生于巴黎 父亲是一位精通古典文学的律师 与当时法国大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切 少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏 并预言柯西日后必成大器 在拉格朗日建议下 其父亲加强了对柯西文学素质的培养 使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华 1805 1810年 柯西考入巴黎理工学校 两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取 毕业时获该校会考大奖 1810年成为工程师 1815年获科学院数学大奖 1816年3月被任命为巴黎科学院院士 同年9月 被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授 2020年5月31日星期日 柯西一生撰写的数学论著有800多种 他是19个科学院或著名学术团体的成员 1838年他还被授予男爵封号 他在学术上的贡献涉及到分析学 复变函数论 弹性力学 微分方程 群论 行列式 数论 解析几何 数值分析 微分几何 光学 天体力学等学科或学科分支 柯西一生最大的错误是 失落 了才华出众的年轻数学家伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿 致使群论晚问世近半个世纪 1857年5月23日柯西病逝于巴黎 他的临终遗言 人总是要死的 但他们的业绩永存 2020年5月31日星期日 黎曼资料 英年早逝世的数学大师 黎曼 Riemann Born 17Sept1826inBreselenz Hanover Germany Died 20July1866inSelasca Italy 2020年5月31日星期日 黎曼于 年出生在德国的一个农村 岁到哥廷根大学读书 成为高斯晚年的一名高才生 哥廷根大学在后来的 多年里一直是世界数学的研究中心 黎曼毕业后留校任教 因长年的贫困和劳累 黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核 其后四年的大部分时间在意大利治病疗养 1866年7月20日病逝于意大利 终年39岁 黎曼的一生是短暂的 不到40个年头 他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果 但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹 尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分 并且给出了定积分的论述 但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给出的 为纪念他 人们把积分和称为黎曼和 把定积分称为黎曼积分 2020年5月31日星期日 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一 黎曼的著作不多 但却异常深刻 极富于对概念的创造与想象 黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性 创造性的工作 为世界数学建立了丰功伟绩 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展 许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理 在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就 对于他的贡献 人们是这样评价的 黎曼把数学向前推进了几代人的时间 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 2020年5月31日星期日 一 调和函数的定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用 称为Laplace算子 注 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 拉普拉斯 2020年5月31日星期日 二 解析函数与调和函数的关系 1 两者的关系 定理 任何在区域D内解析的函数 它的实部和虚部都是D内的调和函数 证 根据解析函数高阶导数定理 第三章第四节 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 2020年5月31日星期日 证毕 例如 设f z x iy 则u x y v x y 都是z平面上的调和函数 但f z x iy在z平面上处处不解析 注 定理反之不正确 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 2020年5月31日星期日 2 共轭调和函数的定义 定理 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 解析函数的虚部为实部的共轭调和数 2020年5月31日星期日 思考题 解答 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 2020年5月31日星期日 三 求已知实部或虚部的解析函数 1 偏积分法 如果已知一个调和函数作为解析函数的实部u 或虚部v 那么就可以利用C R方程求得它的虚部v 或实部u 这种方法称为偏积分法 解 例1 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenAnalyticFunctionandHarmonicFunctiom 2020年5月31日星期日 2 2解析函数与调和函数的关系TheRelationBetweenA