北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）数学试题含答案

1 北京市东城区 2019 2020 学年度第二学期高三综合练习 二 数学2020 6 本试卷共 4 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共 10 题 每题 4 分 共 40 分 在每题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知全集 0 1 2 3 4 5 U 集合 0 1 2 A 5 B 那么 U UA B A 0 1 2 B 3 4 5 C 1 4 5 D 0 1 2 5 2 已知三个函数 3 3 3 log x yxyyx 则 A 定义域都为R B 值域都为R C 在其定义域上都是增函数 D 都是奇函数 3 平面直角坐标系中 已知点 A B C的坐标分别为 0 1 1 0 4 2 且四边形ABCD为平行四边形 那么D点 的坐标为 A 3 3 B 5 1 C 3 1 D 3 3 4 双曲线 2 2 2 1 y C x b 的渐近线与直线1x 交于 A B两点 且4AB 那么双曲线C的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 5 已知函数 logaf xxb 的图象如图所示 那么函数 x g xab 的图象可能为 A B C D 6 已知向量 0 5 a 4 3 b 2 1 c 那么下列结论正确的是 A ab与c为共线向量 B ab与c垂直 C ab与a的夹角为钝角 D ab与b的夹角为锐角 1 2 7 九章算术 成书于公元一世纪 是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著 书中记载这样一个问题 今有宛田 下周三十步 径十六步 问为田几何 一步 1 5 米 意思是现有扇形田 弧长为 45 米 直径为 24 米 那么扇形田的面积为 A 135平方米 B 270平方米 C 540平方米 D 1080平方米 8 已知函数 2 lnf xxax 那么 0a 是 f x在 0 上为增函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9 已知一个几何体的三视图如图所示 正 主 视图是由一个半圆弧和一 个正方形的三边拼接而成的 俯视图和侧 左 视图分别为一个正方形和 一个长方形 那么这个几何体的体积是 A 1 2 B 1 4 C 1 8 D 1 10 函 数 f x是 定 义 域 为R的 奇 函 数 且 它 的 最 小 正 周 期 是T 已 知 0 4 242 T x x f x TT T x x g xf xa aR 给出下列四个判断 对于给定的正整数n 存在 aR 使得 1 0 n i i Ti T gf nn 成立 当 4 T a时 对于给定的正整数n 存在 1 kkR 使得 1 0 n i i Ti T g kf nn 成立 当 4 T a k kZ 时 函数 g xf x 既有对称轴又有对称中心 当 4 T a k kZ 时 g xf x 的值只有0 或 4 T 其中正确判断的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 3 第二部分 非选择题共 110 分 二 填空题共 5 题 每题 5 分 共 25 分 11 复数 1 i i z 的共轭复数z为 12 已知 1 cos2 3 则 22 cos 2cos 2 的值为 13 设 是三个不同的平面 m n 是两条不同的直线 给出下列三个结论 若m n 则mn 若m m 则 若 则 其中 正确结论的序号为 注 本题给出的结论中 有多个符合题目要求 全部选对得 5 分 不选或有错选得 0 分 其他得 3 分 14 从下列四个条件 ac 2 6 C cosB 2 4 7b 中选出三个条件 能使满足所选条件 的 ABC存在且唯一 你选择的三个条件是 填写相应的序号 所选三个条件下的c的值为 15 配件厂计划为某项工程生产一种配件 这种配件每天的需求量是200件 由于生产这种配件时其他生产设备 必须停机 并且每次生产时都需要花费5000元的准备费 所以需要周期性生产这种配件 即在一天内生产出这种 配件 以满足从这天起连续n天的需求 称n为生产周期 假设这种配件每天产能可以足够大 配件的存储费为每 件每天2元 当天生产出的配件不需要支付存储费 从第二天开始付存储费 在长期的生产活动中 为使每个生 产周期内每天平均的总费用最少 那么生产周期n为 三 解答题共 6 题 共 85 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 16 本小题 14 分 如图 四边形ABCD中 ADBC CDBC 1BCCD 2AD E为AD中点 将ABE 沿BE折起到 1 ABE 的位置 如图 求证 平面 1 AEB 平面 1 AED 若 1 90AED 求 1 AC与平面 1 A BD所成角的正弦值 3 4 图 图 17 本小题 14 分 已知 n a为等比数列 其前n项和为 n S 且满足 3 1a 32 31Sa n b为等差数列 其前n项和为 n T 如图 n T的图象经过A B两个点 求 n S 若存在正整数n 使得 nn bS 求n的最小值 从图 图 图 中选择一个适当的条件 补充在上面问题中并作答 注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分 注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分 图 图 图 18 本小题 14 分 某志愿者服务网站在线招募志愿者 当报名人数超过计划招募人数时 将采用随机抽取的方法招募志愿者 下 表记录了 A B C D四个项目最终的招募情况 其中有两个数据模糊 记为 a b 项目计划招募人数报名人数 4 5 A50100 B60 a C80b D160200 甲 同 学 报 名 参 加 了 这 四 个 志 愿 者 服 务 项 目 记 为 甲 同 学 最 终 被 招 募 的 项 目 个 数 已 知 1 0 40 P 1 4 10 P 求甲同学至多获得三个项目招募的概率 求a b的值 假设有十名报了项目 A 的志愿者 不包含甲 调整到项目 D 试判断E 如何变化 结论不要求证明 19 本小题 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的一个顶点坐标为 0 1 A 离心率为 2 3 求椭圆C的方程 若直线 1 0 yk xk 与椭圆C交于不同的两点P Q 线段PQ的中点为M 点 1 0 B 求证 点M 不在以AB为直径的圆上 20 本小题 15 分 已知 sin x f xexax a R 当2a 时 求证 f x在 0 上单调递减 若对任意0 x 1f x 恒成立 求实数a的取值范围 若 f x有最小值 请直接给出实数a的取值范围 21 本小题 14 分 设数列 12n Aaaa L 12n Bbbb L 已知 01 ij ab in jn LL1 21 2 定义n n 数 表 11121 21222 12 n n nnnn xxx xxx X AB xxx L L MMMM L 其中 1 0 ij ij ij ab x ab 5 6 若 1 1 1 0A 0 1 0 0B 写出 X AB 若AB 是不同的数列 求证 n n 数表 X AB 满足 ijji xx 1 21 2 LLinjn ij 的充 分必要条件为 1 1 2 kk abknL 若数列A与B中的 1 共有n个 求证 n n 数表 X AB 中 1 的个数不大于 2 2 n 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 6 7 北京市东城区 2019 2020 学年度第二学期高三综合练习 二 数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准2020 62020 6 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 B 8 A 9 C 10 C 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 1i 12 1 13 14 7 2 或者 2 15 5 三 解答题共 6 小题 共 85 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 16 本小题 14 分 证明 因为四边形ABCD中 ADBC CDBC 1BC 2AD E为AD中点 所以 BEAD 故 图 中 1 BEAE BEDE 又 因为 1 A EDEE I 1 A E DE 平面 1 ADE 所以BE 平面 1 ADE 又 因为BE 平面 1 AEB 所以 平面 1 AEB 平面 1 ADE 6 分 解 由 1 90AED 得 1 AEDE 又 1 AEBE BEDE 因此 建立如图所示的空间直角坐标系Exyz 由 1 1AECDDE 得 1 0 0 1 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 D 1 1 0 1 A B uuu r 1 0 1 1 A D uuur 7 8 设平面 1 ABD的法向量为 nx y z 则 1 1 0 0 A B A D n n uuu r uuur 即 0 0 xz yz 令1z 得1 1xy 所以 1 1 1 n是平面 1 ABD的一个法向量 又 1 1 1 1 AC uuu r 设直线 1 AC与平面 1 ABD所成角为 所以 1 1 1 11 sin cos 333 uuu r uuu r uuu r n n n AC AC AC 14 分 17 本小题 14 分 解 由 32 31Sa 得 12 2aa 即 33 2 2aa qq 因为 3 0a 所以 1 2 q 1 4a 所以 3 1 4 1 12 8 182 1 2 1 2 n n n n S 6 分 由图 知 11 1Tb 3 3T 可判断0d 数列 n b是递减数列 而 3 82 n 递增 由于 11 bS 所以选择 不满足 存在n 使得 nn bS 由图 知 11 1Tb 3 6T 可判断0d 数列 n b是递增数列 由图 知 11 3Tb 3 0T 可判断0d 数列 n b是递增数列 所以选择 均可能满足 存在n 使得 nn bS 第一种情况 如果选择条件 即 11 1 Tb 3 6T 可得 1d n bn 当 1 2 3 4 5 6 7n时 nn bS 不成立 当8n 时 3 8 888 8 82 bSb 所以 使得 nn bS 成立的 n的最小值为 8 14 分 8 9 第二种情况 如果选择条件 即 11 3 Tb 3 0T 可得 3d 36 n bn 当 1 2 3 4n时 nn bS 不成立 当5n 时 3 5 555 9 82 bSb成立 所以 使得 nn bS 成立的n的最小值为 5 14 分 18 本小题 14 分 解 因为 1 0 40 P 所以60a 且80b 设事件 A 表示 甲同学被项目 A 招募 由题意可知 501 1002 P A 设事件 B 表示 甲同学被项目 B 招募 由题意可知 60 P B a 设事件 C 表示 甲同学被项目 C 招募 由题意可知 80 P C b 设事件 D 表示 甲同学被项目 D 招募 由题意可知 1604 2005 P D 由于事件 甲同学至多获得三个项目招募 与事件 4 是对立的 所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 19 1 4 1 1010 P 4 分 由题意可知 1608041 0 1 1 1 1 2540 PP ABCD ab 1 60 80 41 4 2510 PP ABCD ab 解得120a 160b 12 分 E 变大 14 分 19 本小题 14 分 解 解 由题意可知 1 2 3 222 b a c acb 9 10 解得 3 1 2 c b a 所以 椭圆C的方程为1 4 2 2 y x 4 分 证明 设 11 P x y 22 Q xy 00 yxM 由 2 2 1 4 1 x y yk x 得 2222 4 1 8440kxk xk 所以 22222 8 4 41 44 4816kkkk 所以 当k为任何实数时 都有0 所以 2 12 2 8 41 k xx k 2 12 2 44 4