1．1.2 弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 知识点一 角度制与弧度制 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 思考 半径为2的圆中1弧度的角比半径为1的圆中1弧度的角大，这句话正确吗 答案 错误．“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无关，其大小是一个定值． 知识点二 角度制与弧度制的换算 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360＝2π rad 2π rad＝360 180＝π rad π rad＝180 1＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0 1 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 π 2π 知识点三 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，θ为其圆心角，则 θ＝α θ＝α单位弧度 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2 1．1 rad的角和1的角大小相等． 提示 1 rad的角和1的角大小不相等，1＝ rad. 2．用弧度来表示的角都是正角． 提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关． √ 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 4．半径为1的圆弧中，60角所对的圆弧长为60. 提示 使用扇形弧长公式l＝αR时应将角α化为弧度，60等于，所以60角所对弧长为. 题型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． 120；
2－15；
3；
4－. 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 解 120＝＝. 2－15＝－＝－. 3＝180＝105. 4－＝－180＝－396. 反思感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可． 跟踪训练1 下列转化结果错误的是 A．6730′化成弧度是 B．－化成角度是－600 C．－150化成弧度是－ D.化成角度是15 考点 弧度制 题点 弧度制、角度制互化 答案 C 解析 对于A，6730′＝67.5＝，正确；
对于B，－＝－＝－600，正确；
对于C，－150＝－150＝－，错误；
对于D，＝＝15，正确． 题型二 用弧度制表示终边相同的角 例2 把下列各角化成2kπ＋α0≤α2π，k∈Z的形式，并指出是第几象限角． 1－1 500；
2；
3－4. 考点 弧度制 题点 弧度制与角度制互化 解 1∵－1 500＝－1 800＋300＝－5360＋300. ∴－1 500可化成－10π＋，是第四象限角． 2∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角． 3∵－4＝－2π＋2π－4，2π－4π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． 反思感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋αk∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练2 如图所示 1用弧度制分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
2用弧度制写出终边落在阴影部分包括边界的角的集合． 考点 弧度制 题点 终边相同的角 解 1终边在OA上的角的集合为. 终边在OB上的角的集合为. 2. 题型三 扇形的弧长及面积公式的应用 例3 1若扇形的中心角为120，半径为，则此扇形的面积为 A．π B. C. D. 2如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为 A．2 B. C．2sin 1 D. 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形的弧长公式；
扇形面积公式 答案 1A 2D 解析 1扇形的中心角为120＝，半径为， 所以S扇形＝|α|r2＝2＝π. 2连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，圆心角为2，半弦长为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2＝. 反思感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把角度制化为弧度制，再计算． 跟踪训练3 扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其圆心角的弧度数是 A．1或5 B．1或2 C．2或4 D．1或4 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形的弧长公式；
扇形面积公式 答案 D 解析 设扇形的半径为r cm，圆心角为α0α2π， 则解得或 扇形面积计算 典例 九章算术是我国古代数学的杰出代表作．其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝弦矢＋矢2．弧田如图由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 A．6 m2 B．9 m2 C．12 m2 D．15 m2 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形面积公式 答案 B 解析 根据题设，弦＝24sin ＝4m， 矢＝4－4cos ＝2m， 故弧田面积＝弦矢＋矢2＝42＋22＝4＋2≈9m2． [素养评析] 本例以古代数学为典例，体现了通过对实际问题进行分析，抽象出具体的数学模型，建立相应公式解决问题的思想和方法，这就是数学核心素养数学抽象的具体体现． 1．下列说法正确的是 A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 考点 弧度制 题点 弧度制定义 答案 A 解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误． 2．下列表述中不正确的是 A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y＝x上的角的集合是 考点 弧度制 题点 弧度制、角度制互化，用弧度制表示角 答案 D 解析 终边在直线y＝x上的角的集合是. 3．若θ＝－5，则角θ的终边在 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 考点 弧度制的应用 题点 弧度制的应用 答案 D 解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈， ∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角． 4．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为 A. B. C. D. 考点 弧度制 题点 扇形的面积公式 答案 C 解析 由S＝|α|r2得＝α12，所以α＝. 5．已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求 1弧AB的长；
2扇形所含弓形的面积． 考点 弧度制 题点 扇形的弧长公式、弧度制应用 解 1l＝αR＝π6＝4π， 所以弧AB的长为4π. 2S扇形OAB＝lR＝4π6＝12π. 如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120， 所以∠AOD＝60，∠DAO＝30， 于是有S△OAB＝ABOD ＝26cos 303＝9. 所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. 所以弓形的面积是12π－9. 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系每一个角都有唯一的一个实数即这个角的弧度数与它对应；
反过来，每一个实数也都有唯一的一个角即弧度数等于这个实数的角与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180＝π rad”这一关系式．即 角度数 rad＝弧度数，弧度数＝角度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度． 一、选择题 1．下列说法中，错误的是 A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 考点 弧度制 题点 弧度制定义、应用 答案 D 解析 根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D. 2．下列说法中，错误的是 A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 考点 弧度制 题点 弧度制定义 答案 D 解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误． 3．－240化为弧度是 A．－π B．－π C．－π D．－π 考点 弧度制 题点 弧度制角度制互化 答案 A 解析 －240＝－240＝－π. 4．设角α＝－2弧度，则α终边所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点 弧度制 题点 弧度制应用 答案 C 解析 ∵－π－2－， ∴2π－π2π－22π－， 即π2π－2π， ∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角． 5．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为 A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπk∈Z D．α－β＝2kπ＋k∈Z 考点 弧度制 题点 弧度制应用 答案 D 6．把－π表示成θ＋2kπk∈Z的形式，使|θ|最小的θ值是 A．－π B．－2π C．π D．－π 考点 弧度制的应用 题点 弧度制的应用 答案 A 解析 ∵－π＝－2π＋ ＝2－1π＋， ∴θ＝－π. 7．若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为 A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 考点 弧度制 题点 扇形面积公式 答案 B 解析 ∵72＝， ∴S扇形＝αr2＝202＝80πcm2． 8．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长增加到原来的2倍，则 A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增加到原来的2倍 D．扇形的圆心角增加到原来的2倍 考点 弧度制、扇形面积与弧长公式 题点 扇形面积公式 答案 B 解析 设原来的扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后的扇形的半径为2r，弧