第三章,动态电路分析
1 第三章动态电路分析 2 一阶电路的零输入响应 零状态响应和全响应求解 重点 4 一阶电路的阶跃响应和冲激响应 3 稳态分量 暂态分量求解 1 动态电路方程的建立及初始条件的确定 2 含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路 特点 1 动态电路 3 1动态电路的基本概念 当动态电路状态发生改变时 换路 需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态 这个变化过程称为电路的过渡过程 例 过渡期为零 电阻电路 3 K未动作前 电路处于稳定状态 i 0 uC 0 i 0 uC Us K接通电源一段时间后 电容充电完毕 电路达到新的稳定状态 初始状态 过渡状态 新稳态 有一过渡期 电容电路 4 K未动作前 电路处于稳定状态 i 0 uL 0 uL 0 i Us R K接通电源一段时间后 电路达到新的稳定状态 电感视为短路 初始状态 过渡状态 新稳态 有一过渡期 电感电路 5 过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件L C 电路在换路时能量发生变化 而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成 电路结构 状态发生变化 换路 2 动态电路的方程 应用KVL和元件的VCR得 6 一阶电路 二阶电路 7 一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程 一阶电路中只有一个独立的动态元件 1 描述动态电路的电路方程为微分方程 结论 2 动态电路方程的阶数等于电路中独立动态元件的个数 8 复频域分析法 时域分析法 动态电路的分析方法 建立微分方程 本章采用 uC 0 或iL 0 9 1 t 0 与t 0 的概念 认为换路在t 0时刻进行 0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间 3 电路的初始条件 初始条件为t 0 时u i及其各阶导数的值 0 0 10 t 0 时刻 当i 为有限值时 q 0 q 0 uC 0 uC 0 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 2 电容的初始条件 电荷守恒 结论 11 当u为有限值时 L 0 L 0 iL 0 iL 0 3 电感的初始条件 t 0 时刻 磁链守恒 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 结论 12 iL 0 iL 0 uC 0 uC 0 4 换路定律 1 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件 注意 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 2 换路定律反映了能量不能跃变 13 5 电路初始值的确定 2 由换路定律 uC 0 uC 0 8V 1 由0 电路求uC 0 uC 0 8V 3 由0 等效电路求iC 0 例1 求iC 0 电容开路 电容用电压源替代 14 求初始值的步骤 1 由换路前电路 一般为稳定状态 求uC 0 和iL 0 2 由换路定律得uC 0 和iL 0 3 画0 等效电路 4 由0 电路求所需各变量的0 值 b 电容 电感 用电压源 电流源 替代 a 换路后的电路 取0 时刻值 方向同原假定的电容电压 电感电流方向 15 iL 0 iL 0 2A 例2 t 0时闭合开关k 求uL 0 先求 由换路定律 电感用电流源替代 解 电感短路 16 3 2一阶电路的零输入响应 换路后外加激励为零 仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流 1 RC电路的零输入响应 已知uC 0 U0 特征根 则 零输入响应 微分方程 17 代入初始值uC 0 uC 0 U0 A U0 方程的解为 18 令 RC 称 为一阶电路的时间常数 1 电压 电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 从以上各式可以得出 连续函数 跃变 2 响应衰减快慢与RC有关 19 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 RC 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 电压初值一定 R大 C一定 i u R放电电流小 C大 R一定 W Cu2 2储能大 物理含义 20 工程上认为 经过3 5 过渡过程结束 电容电压衰减到原来电压36 8 所需的时间 U00 368U00 135U00 05U00 007U0 U0U0e 1U0e 2U0e 3U0e 5 21 3 能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕 设uC 0 U0 电容放出能量 电阻吸收 消耗 能量 22 例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压 求K闭合后 电容电压和各支路电流随时间变化的规律 解 这是一个求一阶RC零输入响应问题 有 分流得 R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 23 2 RL电路的零输入响应 特征方程Lp R 0 特征根 代入初始值 A iL 0 I0 24 从以上式子可以得出 连续函数 跃变 1 电压 电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 2 响应衰减快慢与L R有关 25 令 L R 称为一阶RL电路时间常数 L大W Li2 2起始能量大R小P Ri2去磁过程消耗能量小 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 物理含义 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 L R 电流初值i 0 一定 26 3 能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕 设iL 0 I0 电感放出能量 电阻吸收 消耗 能量 27 小结 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数 2 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 RC RL电路 L RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 28 动态元件初始能量为零 由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应 列微分方程 3 2一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程 解的形式为 1 RC电路的零状态响应 零状态响应 非齐次方程特解 齐次方程通解 29 与输入激励的变化规律有关 为电路的稳态解 变化规律由电路参数和结构决定 的通解 的特解 30 全解 uC 0 A US 0 A US 由初始条件uC 0 0定积分常数A 从以上式子可以得出 31 表明 电压 电流是随时间按同一指数规律变化的函数 电容电压由两部分构成 连续函数 跃变 稳态分量 强制分量 暂态分量 自由分量 32 RC电路的零状态响应 t uC 0 33 2 响应变化的快慢 由时间常数 RC决定 大 充电慢 小充电就快 3 响应与外加激励成线性关系 4 能量关系 电容储存能量 电源提供能量 电阻消耗能量 电源提供的能量一半消耗在电阻上 一半转换成电场能量储存在电容中 表明 34 例 t 0时 开关K闭合 已知uC 0 0 求 1 电容电压和电流 2 uC 80V时的充电时间t 解 1 这是一个RC电路零状态响应问题 有 2 设经过t1秒 uC 80V 35 2 RL电路的零状态响应 已知iL 0 0 电路方程为 36 37 例1 t 0时 开关K打开 求t 0后iL uL的变化规律 解 这是一个RL电路零状态响应问题 先化简电路 有 38 例2 t 0时 开关K打开 求t 0后iL uL的及电流源的端电压 解 这是一个RL电路零状态响应问题 先化简电路 有 39 3 2一阶电路的全响应 电路的初始状态不为零 同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应 解为uC t uC uC uC 0 U0 以RC电路为例 非齐次方程 RC 1 全响应 全响应 uC 0 A US U0 A U0 US 由起始值定A 40 2 全响应的两种分解方式 全响应 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 1 着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 41 全响应 零状态响应 零输入响应 2 着眼于因果关系 便于叠加计算 零输入响应 零状态响应 42 43 3 三要素法分析一阶电路 一阶电路的数学模型是一阶微分方程 令t 0 其解的一般形式为 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题 用0 等效电路求解 用t 的稳态电路求解 44 解 三要素为 三要素公式 45 例2 t 0时 开关闭合 求t 0后的iL i1 i2 解 三要素为 应用三要素公式 46 例3 已知 t 0时开关由1 2 求换路后的uC t 解 三要素为 三要素公式 47 例4 已知 t 0时开关由闭合 求换路后的电流i t 解 三要素为 三要素公式 48 3 3一阶电路的阶跃响应 1 单位阶跃函数 定义 单位阶跃函数的延迟 49 t 0合闸i t Is 1 在电路中模拟开关的动作 t 0合闸u t E 单位阶跃函数的作用 50 2 延迟一个函数 3 起始一个函数 51 用单位阶跃函数表示复杂的信号 例1 例2 52 2 一阶电路的阶跃响应 激励为单位阶跃函数时 电路中产生的零状态响应 阶跃响应 求阶跃响应uc t 53 激励在t t0时加入 则响应从t t0开始 54 求图示电路中电流iC t 例 下页 上页 返回 55 应用叠加定理 下页 上页 阶跃响应为 返回 56 由齐次性和叠加性得实际响应为 下页 上页 返回 57 下页 上页 分段表示为 返回 58 分段表示为 下页 上页 返回