数轴与相反数（提高） 【学习目标】 1．熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
4. 掌握多重符号的化简；
5. 通过例子，体会数形结合的思想. 【要点梳理】 要点一、数轴 1.定义规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释 （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 2. 数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；
反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 要点二、相反数 1.定义只有符号不同的两个数互为相反数；
0的相反数是0. 要点诠释 （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 要点三、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[--4]}4 ；
若有奇数个时，化简结果为负，如-{[--4]}-4 . 要点诠释 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 【典型例题】 类型一、数轴的概念 1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置． 【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一. 【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示． 【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可. 举一反三 【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；
如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________． 【答案】3，-5，8 类型二、相反数的概念 2．（2016哈尔滨模拟）在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是（ ） A．﹣2 B．8 C．﹣2或8 D．5 【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解. 【答案】B 【解析】解因为在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的点有两个A和B，如下图所示 而点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， 又因为8为正数， 故正确答案选B. 【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析求解比较好． 举一反三 【变式1】 1 如果a＝－13，那么－a＝______；
2 如果 －a＝－5.4，那么a ＝______；
3 如果－x＝－6，那么x＝______；
4 －x＝9，那么x＝______. 【答案】（1）13；
（2）；
（3）6；
（4）-9 【变式2】－4的倒数的相反数是（ ） A．－4B．4C．－ D． 【答案】D 【高清课堂数轴和相反数 例1（1）（7）】 【变式3】填空 1 －－2.5的相反数是 ；
2 是-100的相反数；
3 是 的相反数；
4 的相反数是-1.1；
58.2和 互为相反数；
（6）a和 互为相反数. （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 【答案】－2.5；
100；
；
1.1；
-8.2；
-a；
负数；
0 【高清课堂数轴和相反数 例1（8）】 3．已知互为相反数，则 ． 【答案】2 【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得. 【总结升华】若互为相反数，则或. 举一反三 【变式】已知与 互为相反数，求的值. 【答案】因为互为相反数的两个数的和为0，所以，解得. 类型三、多重符号的化简 4．化简 （1）﹣{[﹣（3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}． 【解析】 解（1）原式﹣{[﹣3]}﹣{﹣3}3；
（2）原式﹣{﹣[﹣（﹣3）]}﹣{﹣[3]}﹣{﹣3}3． 【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；
若有奇数个，则结果为负． 举一反三 【变式】当6前面有2011个正号时，化简结果为 ；
当6前面有2011个负号时，化简结果为 ；
当6前面有2012个负号时，化简结果为 . 【答案】6；
-6；
6 类型四利用数轴比较大小 【高清课堂数轴和相反数 例4（4）】 5．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空． ①p______q；
②－p______0；
③－p______－q；
④－p______q；
【答案】; ; 【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p, -q均表示在数轴上，如下图 然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案. 【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0；
负数都小于0；
正数大于一切负数. 举一反三 【变式】（2015东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ） A. 点B与点D B. 点A与点C C. 点A与点D D. 点B与点C 【答案】C. 类型五、数形结合的应用 6．点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数把你的研究过程在数轴上表示出来． 【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律左减右加． 【答案与解析】 解如图所示，B点表示A点移动后的位置．则AB＝2．因为A、B表示一对相反数．所以原点O是AB的中点，AO＝OB，所以A点表示1． 【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.