2019届山东省济南外国语学校高三上学期高考模拟（二） 数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析根据条件求出集合等价条件，结合集合的补给和交集的定义进行求解即可. 详解由，或， 则，所以，故选B. 点睛本题主要考查了集合的运算，求出集合的等价条件是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 2．若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析设复数，利用相等，求得，进而可求复数的模. 详解设复数， 则，则， 所以，所以，故选C. 点睛本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力. 3．已知命题，，则是的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析根据题意，求得，即可利用集合之间的关系，判定得到结论. 详解由题意可得，解得， 则“”是“”成立的充分不必要条件， 即“”是“”成立的充分不必要条件，故选A. 点睛本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题，利用集合之间的大小关系是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 4．函数的部分图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析由函数的解析式，求得函数为奇函数，再根据特殊点的函数值，即可作出选择. 详解由，可得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、C， 又由，排除D， 故选函数的大致图象为选项A，故选A. 点睛本题考查了函数的图象的识别，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数值的估算等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 5．已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析求出椭圆的焦点坐标，得到，再由双曲线的渐近线方程可得，解方程求得的值，进而得到双曲线的方程. 详解曲线的一条渐近线的方程为，即 又椭圆的焦点坐标为，即， 所以，解得， 所以双曲线的方程为，故选D. 点睛本题考查了双曲线方程的求法，解答中注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点坐标的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题. 6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析根据程序的运算功能是计算的前项的和，利用数列求和即可求解. 详解由题意，执行如图所示的程序框图，可知该程序的运算功能是计算的前项的和，又由， 所以输出，故选B. 点睛本题考查了循环结构的程序的运算功能和结果的输出问题，其中正确的理解题意，读懂程序框图的功能和计算的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7．已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件豆子落在圆内，事件豆子落在四边形外，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析设设正方形的边长为，分别求解圆和正方形的面积，得到在圆内且在内的面积，即可求解相应的概率. 详解设正方形的边长为， 则圆的半径为，其面积为， 设正方形的边长为，则，其面积为， 则在圆内且在内的面积为， 所以，故选C. 点睛本题考查了条件概率的计算，其中解答中设出正方形的边长，求解出解圆和正方形的面积，得到在圆内且在内的面积是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积. 详解由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥， 其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为，高为， 所以该三棱锥的体积为，故选B. 点睛本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 9．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可. 详解将函数图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到，然后向左平移，得到， 因为，所以， 当时，，函数的最大值为， 要使在上有两个不相等的实根，则， 即实数的取值范围是，故选C. 点睛本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中求出函数的解析式以及利用整体转换法是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题. 10．若函数，分别是定义在上的偶函数，奇函数，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析运用奇偶性的定义，将换为，解方程可得，计算可得所求大小关系. 详解函数分别是定义在上的偶函数和奇函数， 其满足，可得， 解得， 可得， ，， ，所以，故选D. 点睛本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中求出函数的解析式，利用函数的奇偶性和作差比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 11．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析由题意可得为等腰直角三角形，设，运用椭圆的定义可得，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率. 详解由且，可得为等腰直角三角形， 设，即有，则, 在直角三角形中，可得， 化为，可得，故选D. 点睛本题考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的应用，及椭圆的离心率的求解，其中解答中运用椭圆的定义，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 12．为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，解得椎体所得面积为，， ，求出，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可. 详解在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截， 记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为， 可得，， 由，可得，则， 所以该牟合方盖的体积为，故选B. 点睛本题考查了不规则几何体的体积的求法，解答中由截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，解得椎体所得面积为， 求出，再由定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能，属于中档试题. 二、填空题 13．已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为__________． 【答案】28 【解析】分析由已知求得，写出二项式展开式的通项，由的指数为求得的值，即可求解. 详解由题意，，解得， 所以，其展开式的通项为， 取，得展开式中含项的系数为. 点睛本题考查了指定项的二项式系数的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题. 14．设等差数列的前项和为，若，，则公差__________． 【答案】 【解析】分析利用等差数列的通项公式与求和公式，即可求解. 详解在等差数列中，由， 则，所以. 点睛本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，其中数据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题. 15．在中，，其面积为3，设点在内，且满足 ，则__________． 【答案】 【解析】分析由三角形的面积公式，求得，再利用平面向量的数量积的运算公式，进而可求解的值. 详解由中，，其面积为，则，则， 又由，即， 所以， 设， 则. 点睛平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 16．对，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 分析根据二次函数的性质计算的最小值，从而得出与之间的关系，分类讨论得出，求出右侧函数的最大值，即可得出的范围. 详解由，得， 所以当时，取得最小值， 所以， 因为，所以， 因为，所以的最大值为，所以. 点睛本题考查了函数的基本性质的应用，函数存在性问题与函数最值的关系，其中解答中熟记二次函数的性质和函数存在性问题与函数最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 三、解答题 17．在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值． 【答案】1. 2. 【解析】 分析（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得的值；
（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得的值. 详解1由已知及正弦定理得， ， 2 又 所以，． 点睛本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 18．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性