2019-2020学年河北省张家口市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1．为调查学生观看电影我和我的祖国的情况，采用分层抽样的方法，从某中学无人其中高一年级人，高二年级人，高三年级人中抽取人.已知从高一抽取了人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】根据分层抽样的等比例性质，结合题意，进行计算即可. 【详解】 根据分层抽样的等比例抽样的性质， 设从高二和高三抽取人， 可得 解得 故选B. 【点睛】 本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题. 2．已知命题，那么命题的否定是（ ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】根据特称命题的否定的求解原则，即可写出其命题的否定. 【详解】 命题， 那么命题的否定是. 故选C. 【点睛】 本题考查特称命题的否定，属基础题. 3．从这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】先计算所有的可能性，从中选出满足题意的可能，用古典概率计算公式即可求得. 【详解】 从5个数中选择两个，总共有10种可能， 其中满足乘积为奇数的可能相当于从3个奇数中选2个，共有3种可能 1和3,1和5,3和5. 故这两个数的积为奇数的概率. 故选A. 【点睛】 本题考查古典概型的概率计算，难点是对满足题意的可能性进行求解. 4．已知定点为常数，且，则动点的轨迹是（ ） A．一条射线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支 【答案】D 【解析】根据题意，结合曲线的特征，进行判断即可. 【详解】 根据题意，动点P到两个定点M和N的距离之差为定值，且该定值小于M、N的距离， 故动点P的轨迹方程是以M和N为焦点的双曲线， 又因为，故只是双曲线上靠近焦点N的一支. 故选D. 【点睛】 本题考查双曲线的定义，属基础题，易错点是没有注意到此题表述的是双曲的一支，而不是整个双曲线. 5．命题“若”，则“的否命题是（ ） A．“若“，则”B．“若“，则” C．“若，则”D．“若，则” 【答案】A 【解析】根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可. 【详解】 根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定， 故命题若，则的否命题是 若，则. 故选A. 【点睛】 本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定. 6．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ） A．事件“恰有两次正面向上”，事件“恰有两次反面向上” B．事件“恰有两次正面向上”，事件“恰有一次正面向上” C．事件“至少有一次正面向上”，事件“至多一次正面向上” D．事件“至少有一次正面向上”，事件“恰有三次反面向上” 【答案】D 【解析】根据对立事件的定义，对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】 将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，共有8种可能， 对A除恰有两次正面向上，和恰有两次反面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立；
对B除恰有两次正面向上，和恰有一次正面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立；
对C至少有一次正面向上，和至多一次正面向上，两个事件不互斥，故一定不对立；
对D两个事件对立. 故选D. 【点睛】 本题考查对立事件的定义，属概念辨析题. 7．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】根据渐近线方程，即可求得之间关系，将其转化为关系，即可求得. 【详解】 因为渐近线方程为 故，故可得. 故选C. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，属基础题. 8．奖饭店推出甲.乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到下面的茎叶图.下列说法中，不正确的是（ ） A．甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小 B．甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小 C．甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大 D．甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大. 【答案】C 【解析】根据茎叶图的数据，对每个选项的描述进行分析即可. 【详解】 甲的众数是61，乙的众数是62，甲的众数小于乙的众数，故A选项描述正确；
甲的中位数是61，乙的中位数是62，甲的中位数小于乙的中位数，故B选项描述正确；
甲的平均数是61，乙的众数是61，平均数相等，故C选项描述不正确；
甲的方差是，乙的方差是，甲的方差比乙的方差大，故D选项描述正确 故选C. 【点睛】 本题考查众数、中位数、平均数以及方差的计算，属基础题. 9．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，则（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据抛物线焦点弦的计算公式，即可求得. 【详解】 对抛物线，其焦点坐标为，故 根据抛物线焦点弦公式可得. 故选D. 【点睛】 本题考查抛物线中焦点弦的计算公式，属基础题. 10．长方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理. 【详解】 根据题意，建立如图所示直角坐标系 则 设平面的法向量为 则可得 取 则 设直线与平面的夹角为 则，. 故选A. 【点睛】 本题考查线面角的求解，属基础题. 11．已知分别是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】根据题意，结合已知条件，求解三角形边长，利用双曲线定义进行求解. 【详解】 根据题意，作图如下 因为， 故在中 ， 由双曲线的定义可知 故可得. 故选B. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，关键的步骤是根据几何关系，利用双曲线的定义来进行求解. 12．已知为椭圆的左顶点，直线与该椭圆相交于两点，连接设直线的斜率分别为，则的最小值为（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】设出直线的方程，联立椭圆方程，根据P、Q两点关于原点对称，找到与之间的关系，再用均值不等式进行处理即可. 【详解】 设，直线AP方程为 联立椭圆方程可得 故可得，解得，同理可得 因为，故可得 整理化简得. 故，当且仅当时取得最小值. 故选D. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及均值不等式的使用，韦达定理的应用；
本题的难点在于找到斜率之间的关系. 二、填空题 13．已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的方差为，则____1填“”或“ -“. 【答案】 【解析】根据方差的计算公式，进行推理证明. 【详解】 根据题意 加入新的数据后，平均数未发生变化， 故6个数字的方差为 故答案为. 【点睛】 本题考查方差的计算，属基础题. 14．在区间上随机取一个数，则的值在到之间的概率为__________. 【答案】 【解析】求解出不等式的解集，利用几何概型的概率计算公式求解即可. 【详解】 当时，解不等式， 可得不等式解集为，区间长度为 根据几何概型计算公式， 的值在到之间的概率为 故答案为. 【点睛】 本题考查几何概型概率的计算，涉及解三角不等式. 15．已知椭圆的左、右焦点分别为 为椭圆上一点，，则______. 【答案】 【解析】在焦点三角形中，由余弦定理，列出关于的等式，求解方程即可. 【详解】 根据椭圆的定义 在焦点三角形中，由余弦定理可得 ， 代值可得 由代入可得 ，即可得. 故答案为. 【点睛】 本题考查由几何关系求椭圆的方程，属基础题. 16．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______. 【答案】 【解析】根据题意，Q点在一个过BD，且与直线AC垂直的平面内，且Q点的轨迹是该平面内与平面PBC的交线段的长度.据此进行求解. 【详解】 根据题意，连接AC，BD，记其交点为O，取PC上一点为M，连接MB，MD，作图如下 若满足题意，又，故平面DBQ， 则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可. 假设如图所示平面DBM与平面DBQ是同一个平面， 则Q点的轨迹就是线段BM. 根据假设，此时直线平面DBM，则. 故三角形MOC为直角三角形. 因为三角形PAD是等边三角形，三角形BAD也是等边三角形， 故AD，又因为BC//AD，故BCPB， 故三角形PBC为直角三角形，故 故在三角形PAC中， 由余弦定理可得 故在直角三角形MOC中， 在直角三角形PBC中， 在三角形BCM中 故可得. 故答案为. 【点睛】 本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；
本题中利用作直线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题. 三、解答题 17．已知命题“实数满足方程表示双曲线”，命题“实数满足，并且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】先求出命题为真对应的集合，然后根据集合对应的关系，求参数范围. 【详解】 方程表示双曲线， 由，得. 因为是的必要不充分条件， 或 解得. 【点睛】 本能考查由命题之间的关系，转化为集合之间的关系求参数范围的问题. 18．初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动.随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩分以上的学生也越来越多.用表示月后体育成绩分以上的学生的百分比，得到了如下数据. 体育成绩分以上 学生的百分比 （1）求出关于的回归直线方程；
（2）试根据求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩分以上的学生的百分比是多少 参考公式由最小二乘法所得回归直线的方程是其中，. 【答案】（1）；
（2） 【解析】（1）根据表格数据，结合参考公式，代值计算即可；
（2）令（1）中求出的回归方程中的，求出函数值即为预测值. 【详解】 （1）由表格数据可得 故关于的回归直线方程为. （2）由（1）知 令，解得. 【点睛】 本题考查回归直线方程的求解，以及用回归直线方程进行预测，属基础题. 19．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，且. （1）求抛物线的方程；
（2）设经过点、倾斜角为的直线与抛物线交于两点，抛物线的准线与轴交于点，求的面积. 【答案】（1）；
（2） 【解析】（1）根据，即可求得抛物线方程；
（2）根据（1）中所求抛物线方程，将三角形面积转化为，即可求得面积. 【详解】 （1）由抛物线定义及，可得 抛物线的方程为 （2）设直线方程为 联立抛物线方程， 消得. ， 【点睛】 本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中三角形面积的求解，属抛物线基础题. 20．近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各人进行抽样分析，制成如下的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数；
（2）根据频率