云南省曲靖市陆良县2020届高三数学第二次模拟试题 理 （考试时间120分钟；
全卷满分150分） 第I卷 一、 选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A{1，2，3，4}，B{y|y3x﹣2，x∈A}，则A∩B（ ） A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 2.设1ix1yi，其中x，y是实数，则|xyi|（ ） A．1 B． C． D．2 3.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是（ ） A.收入最高值与收入最低值的比是31 B.结余最高的月份是7月（注结余收入-支出） C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元 4设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3a5a715，则S9（ ） A．18 B．36 C．45 D．60 5.已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为yx，则双曲线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 6.已知（axx2）（1﹣x）4的展开式中含x3项的系数为﹣10，则a（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.关于函数 ，有如下问题 ①是f（x）的图象的一条对称轴；
② ③将f（x）的图象向右平移个单位，可得到奇函数的图象；
④ 其中真命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．4 8.执行如右图所示的程序框图，如果输入的m168，n112，则输出的k，m的值分别为（ ） A．4，7 B．4，56 C． 3，56 D．3，7 9．抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为（ ） A． B． C． D． 10.已知表面积为24π的球外接于三棱锥S﹣ABC，且∠BAC，BC4，则三棱锥S﹣ABC的体积最大值为（ ） A． B． C． D． 11.在正方形ABCD中，AB，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λμ的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 12. 定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1﹣f（x），f（0）6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex5（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．（0，∞） B．（﹣∞，0）∪（3，∞） C．（﹣∞，0）∪（1，∞） D．（3，∞） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题本大题共4小题，每小题5分． 13.设变量x，y满足约束条件，则的取值范围为 ． 14.某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N（100，52），且P（ξ＜110）0.98，P（90＜ξ＜100）的值为 ． 15.已知数列满足,则它的通项 . 16. 已知圆C（x﹣3）2（y﹣4）21和两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB90，则m的取值范围是 ． 三、解答题解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为1，（c﹣2a）cosBbcosC0． （1）求角B的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围． 18.（本小题满分12分）一个袋子内装有2 个绿球，3 个黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同），从中一次性任取 2 个球，每取得 1 个绿球得5 分，每取得1 个黄球得 2分，每取得 1 个红球得1分，用随机变量X 表示取 2 个球的总得分，已知得 2 分的概率为 （1）求袋子内红球的个数；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2ADBC2，∠DAC30，M为PB中点． （1）证明AM∥平面PCD；
（2）若二面角M﹣PC﹣D的余弦值为，求PA的长． 20．（本小题满分12分）设F1、F2分别是离心率为的椭圆E（a＞b＞0）的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆E的方程；
（2）设直线lyxm与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴点P，当m变化时，求△PAB面积的最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数f（x）（x1）lnx﹣ax2． （1）当a1时，求在x1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求证，n∈N*． 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为 yx，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于P、Q两点，求|OP||OQ|的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 （1）解不等式|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）设f（x）x2﹣x1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证|f（x）﹣f（a）|＜2（|a1|） 陆良县2020届高三毕业班第二次适应性考试 理科数学参考答案 一． 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D C A C A D C B A A 二．填空题 13、 14、0.48 15、 16、[0，3] 三．解答题 17.解（1）根据题意，（2a﹣c）cosBbcosC， 由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosBsinBcosC，即2sinAcosB﹣sinCcosBsinBcosC 变形可得2sinAcosBsinCcosBsinBcosC ∴2sinAcosBsin（BC） ∵在△ABC中，sin（BC）sinA ∴2sinAcosBsinA，即cosB， 则B；
-6分 （2）根据题意，由（1）可得B，sinB，又由正弦定理b2RsinB， a2RsinA2sinA，c2RsinC2sinC；
则ac2（sinAsinC）2[sin（﹣C）sinC]2[cosCsinC]2sin（C）， 又由0＜C＜，则＜C＜， 则有＜sin（C）≤1， 故＜ac≤2， 则有2＜abc≤3， 即△ABC周长的取值范围为（2，3]．----------------（12分） 18.解（1）设袋中红球的个数为n个，p（ξ0），化简得n2﹣3n﹣40， 解得n4 或n﹣1 （舍去），即袋子中有4个红球. ---------------------------------5分 （2）依题意X2，3，4，6，7，10． p（X2），p（X3），p（X4）， p（X6），p（X7），p（X10）， X 2 3 4 6 7 10 P X的分布列为 ∴EX2346710 （12分） 19. 解取PC的中点为N，连结MN，DN （1）∵M是PB的中点，∴ ∵AD∥BC，且BC2AD，∴NM∥AD且NMAD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM∥ND． 又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD 所以AM∥平面PCD．（6分） （2）以A为坐标原点，AN为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设PAt（t＞0），∵∠DAC30，∴CD1，由题意可求得． 设为平面PMC的法向量，为平面PCD的法向量，则有， 所以（﹣t，0，﹣1）， 可得， 所以， ∵二面角M﹣PC﹣D的余弦值为，∴ 化简得t44t2﹣50，所以t1， 即PA1（12分） （12分） 20.解（1）由椭圆的离心率e，则ac，b2a2﹣c2c2， ∴ab，由经过点F2且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为， 则，解得a，则b1， ∴椭圆的标准方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得3x24mx2m2﹣20． ∵直线与椭圆有两个不同交点， 由根与系数的关系得． ∴△（4m）2﹣12（2m2﹣2）＞0，即且m≠0 设A，B中点为C，C点横坐标为，． ∴， ∴线段AB的垂直平分线方程为， ∴P点坐标为（）． P到AB的距离d． 由弦长公式得|AB|． ∴． 当且仅当，即m∈（）时等号成立． ∴△PAB面积的最大值为． 21.解（1）当a1时，f（x）（x1）lnx﹣x2，（x＞0）， f′（x）lnx，f′（1）1，f（1）1， 所以求在x1处的切线方程为yx．（3分） （2）f′（x）lnx1﹣a，（x＞0）． 函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx；
令g（x）lnx， 则g′（x），x＞0；
则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，∞）上单调递增；
所以g（x）≥2，故a≤2．（7分） （3）由（ii）得当a2时f（x）在（1，∞）上单调递增， 由f（x）＞f（1），x＞1得（x1）lnx﹣2x2＞0， 即lnx＞在（1，∞）上总成立， 令x得ln＞， 化简得ln（n1）﹣lnn＞， 所以ln2﹣ln1＞， ln3﹣ln2＞，， ln（n1）﹣lnn＞， 累加得ln（n1）﹣ln1＞， 即ln（n1），n∈N*命题得证．（12分） 22.解（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）， 转化为普通方程， 即， 则C1的极坐标方程为，（3分） ∵直线C2的方程为， ∴直线C2的极坐标方程．（5分） （2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2）， 将代入， 得ρ2﹣5ρ30， ∴ρ1ρ23， ∴|OP||OQ|ρ1ρ23．（10分） 23.（1）解根据题意，对x分3种情况讨论 ①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x1＜﹣x1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在， 此时，不等式的解集为∅． ②当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x1＜x1，解得x＞0，又0≤x＜， 此时其解集为{x|0＜x＜}． ③当x≥时，原不等式化为2x﹣1＜x